Calcul d'une probabilité par une série
Bonjour
Lors d'un oral je vais présenter le calcul de la probabilité qu'une marche aléatoire sur $\Z$ revienne en $0$ par un calcul de la série entière. Si jamais on me demande quels autres exemples de calcul de probabilité par les séries entières je connais. Que puis-je répondre ?
J'avais pensé à Galton Watson mais on cherche un point fixe de la série génératrice, ce n'est pas la même méthode. Pour les marches aléatoires on calcule la fonction génératrice et on l'évalue en un. Pas de point fixe.
Avez-vous des réponses ? Merci d'avance !
Lors d'un oral je vais présenter le calcul de la probabilité qu'une marche aléatoire sur $\Z$ revienne en $0$ par un calcul de la série entière. Si jamais on me demande quels autres exemples de calcul de probabilité par les séries entières je connais. Que puis-je répondre ?
J'avais pensé à Galton Watson mais on cherche un point fixe de la série génératrice, ce n'est pas la même méthode. Pour les marches aléatoires on calcule la fonction génératrice et on l'évalue en un. Pas de point fixe.
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Réponses
$$\frac{1}{1-f(z)}=\sum_{k=0}^{\infty}u_kz^k$$ou $u_k$ est le nombre moyen de $n$ tels que $S_n=k.$
Je ne crois pas que l'exemple de P. soit inaccessible: pour $0 < z < 1$ tel que $f(z) < 1$, on a \begin{align*}
\frac1{1 - f(z)}&= \sum_{n \geq 0} f(z)^n\\
&= \sum_{n \geq 0} \mathbb{E}[z^X]^n \\
&= \sum_{n \geq 0} \mathbb{E}[z^{S_n}]&\text{ car } \mathbb{E}[z^{S_n}] = \mathbb{E}[z^{X_1} \cdots z^{X_n}] = \mathbb{E}[z^{X_1}] \cdots \mathbb{E}[z^{X_n}] = \mathbb{E}[z^{X}]^n\text{ par iid} \\
& = \sum_{n \geq 0} \displaystyle \sum_{k \geq 0} \mathbb{E}[z^{S_n} 1_{[S_n = k]}]\\
&= \sum_{n \geq 0} \displaystyle \sum_{k \geq 0} z^k \mathbb{P}(S_n = k)\\
&= \sum_{k \geq 0} z^k \Big( \sum_{n \geq 0} \mathbb{P}(S_n = k)\Big)
\end{align*} par Fubini-Tonelli, et il reste à voir si $u_k = \displaystyle \sum_{n \geq 0} \mathbb{P}(S_n = k)$ car je ne saisis pas le définition de P.
Quant à la mise en page, tu aurais pu écrire etc., pour obtenir ce qui suit.
\begin{align*}
\frac1{1-f(z)}&=\sum_{n \geq 0} f(z)^n\\
&=\sum_{n \geq 0} \mathbb{E}[z^X]^n
\end{align*}
AD a eu la gentillesse d'éditer mon message même si je dois avouer que c'est la première fois que j'ai cette remarque: je mène aussi les calculs comme cela sur mes copies et aucun professeur ne m'a jamais fait de remarque.