Densité de probabilité et fonction bornée

Sn · June 2021

Bonsoir
Cette question est peut-être de réponse simple, veuillez-m 'excuser si c'est le cas, mais je ne parviens pas à la surmonter.

Soit $X$ une variable aléatoire.
Sachant que pour toute fonction $g$ borélienne et bornée, $E\big(g(X)\big)=\int_{\mathbb{R}} g(x) f(x) dx$ ; pourquoi puis-je affirmer que $f$ est une densité de probabilité de $P_X$ ?

Ce qui me fait réfléchir, c'est simplement le fait que $g$ soit bornée ; je pensais qu'il fallait que $g$ soit intégrable.

marsup · June 2021

Bonjour,

Eh bien ça dépend un petit peu de ce que tu appelles au juste une densité de probabilités.

Mais tu peux voir que $f\ge 0$ presque partout en considérant $g = 1_{f < 0}$.

Et tu peux voir que l'intégrale de $f$ vaut 1 en considérant $g=1$.

Et tu peux voir que c'est la densité de $X$ en prenant $g = 1_{A}$ pour tout $A\subset \R$ partie borélienne, voire simplement avec $A = ]-\infty;x]$, où $x\in\R$, pour obtenir la fonction de répartition de $X$.

Sn · June 2021

Merci beaucoup pour votre réponse qui m'aide grandement.

Densité de probabilité et fonction bornée

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