Loi de probabilité

Formule de transfert ?

Comme déjà mentionné, il faut que tu appliques le théorème de transfert. Si on détaille tout on obtient :

Soit $g:\overline{\R}\to \R$ comme dans l'énoncé.

On introduit $f:\Omega\to \R^2, \omega\mapsto (X(\omega), Y(\omega))$ et $h:\R^2\to \overline{\R}, (x,y)\mapsto \dfrac{y}{x}$.

Alors il est évident que $g\left(\dfrac{Y(\omega)}{X(\omega)}\right)=(g\circ h\circ f)(\omega)$.

Donc par définition, $\displaystyle E\left[g\left(\dfrac{Y}{X}\right)\right]=\int g\left(\dfrac{Y(\omega)}{X(\omega)}\right) dP=\int (g\circ h\circ f)(\omega) dP$.

En appliquant le théorème de transfert cette dernière expression devient :

$\displaystyle \int (g\circ h\circ f)(\omega) dP=\int (g\circ h)(x,y) dP_X dP_Y$

où $dP_X dP_Y$ est la mesure image de $f$ par indépendance de $X$ et $Y$.

Or $\displaystyle \int (g\circ h)(x,y) dP_X dP_Y=\int g(y/x) dP_X dP_Y=\iint g(y/x)f_X(x)f_Y(y) dxdy$

et on retrouve bien l'expression du corrigé.

\begin{align*}
\mathbb{P}(Y > zX) &= \mathbb{E}[1_{[Y > zX]}] = \mathbb{E}\big[\,\mathbb{E}[1_{[Y > zX]} \mid X]\,\big] \\
&= \mathbb{E}\big[\,\mathbb{E}[1_{[Y > zx]}]_{\rvert_{x = X}}\,\big] = \mathbb{E}[\,\mathbb{P}(Y > zx)_{\rvert_{x = X}}\,] \\
&= \mathbb{E}[(e^{-zx})_{\rvert_{x = X}}\,] = \mathbb{E}[e^{-zX}].
\end{align*}