Exercice de probabilité

Bonjour,
L'enchaînement des questions $4$ et $5$ est bizarre car évaluer directement la probabilité conditionnelle $\Pr\Big(X=2\mid X>1\Big)$ ne me paraît pas aller de soi.
Le plus simple me semble consister à calculer d'abord $\Pr[X=2]$ en recensant les suites de $3$ lancers qui mènent à $X=2$. Ce n'est pas bien compliqué et on en trouve $70.\quad $ Ainsi: $\:\Pr[X=2]=\dfrac {70}{216}. $
On peut alors, si nécessaire, répondre à la question $4$ en disant que:$ \ \Pr\Big(X=2\mid X>1\Big)= \dfrac {\Pr[X=2]}{\Pr[X>1]}=\dfrac 59.$
Justifier que $X$ n'obéit pas à une loi géométrique me paraît exiger le calcul de $\Pr[X=3] = \dfrac {210}{1296}$ afin de constater que $\dfrac {15}{36}, \ \dfrac {70}{216},\ \dfrac {210}{1296}$ ne forment pas une progression géométrique.

Les lignes suivantes détaillent la loi de probabilité de $X$ dont la simplicité de l'expression m'a surpris.
$$
\forall n \in \N^*,\quad \mathbb P [X=n]=\displaystyle \dfrac {n\binom {n+5}4}{ 6^{n+1}}.$$
La série (formelle) génératrice de la variable aléatoire $X$ est:
$$F_X(T):=\displaystyle \sum _{n=1} ^{+\infty} \mathbb P [X=n] T^n = \dfrac{T^5-36\:T^4+540\:T^3-4320\:T^2+19440\:T}{(6-T)^6}.\\
\mathbb E(X) = \dfrac {31031}{15625}=1,985984.$$