Application identiquement distribuée
Bonjour
J'essaye de me persuader que, si une suite de variables aléatoires $(X_n)_n$ est identiquement distribuée, nous avons pour toutes fonctions $f$ mesurables que $(f(X_n))_n$ est une suite de variables aléatoires identiquement distribuées.
Je me pose aussi la même question si on remplace identiquement distribuées par indépendantes.
Ainsi, si $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires de même loi pourquoi, pour une fonction $g$ mesurable, $P(g(X)\leq t)=P(g(Y) \leq t)$ ?
Aussi, comment montreriez-vous l'indépendance de $g(X)$ avec $g(Y)$, si $X$ et $Y$ seraient indépendantes ?
Bien cordialement.
J'essaye de me persuader que, si une suite de variables aléatoires $(X_n)_n$ est identiquement distribuée, nous avons pour toutes fonctions $f$ mesurables que $(f(X_n))_n$ est une suite de variables aléatoires identiquement distribuées.
Je me pose aussi la même question si on remplace identiquement distribuées par indépendantes.
Ainsi, si $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires de même loi pourquoi, pour une fonction $g$ mesurable, $P(g(X)\leq t)=P(g(Y) \leq t)$ ?
Aussi, comment montreriez-vous l'indépendance de $g(X)$ avec $g(Y)$, si $X$ et $Y$ seraient indépendantes ?
Bien cordialement.
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Réponses
Oui, je connais la notion de tribu.
Vous avez tout dit Monsieur Aléa.
\begin{align*}
P(g(X) \leq t)&= P(\{ w \in \omega \mid X(w) \in g^{-1}(]- \infty, t]) \\
&= P(X \in g^{-1}( ] - \infty , t ] ) =P(Y \in g^{-1}(] - \infty , t]) \\
&= P(\{ w \in \omega \mid Y(w) \in g^{-1}(]- \infty, t])\\
&=P(g(Y) \leq t)
\end{align*} De même pour l'indépendance.
Je vous remercie pour votre aide Aléa et je vous prie de m'excuser pour mes futilités.