Question basique de percolation

Mmmmh... Je ne comprends pas la question.

Si je devais deviner, je dirais que le mot "configuration" n'est pas clair pour toi. Est-ce qu'on est d'accord qu'une configuration est un élément de $\{0,1\}^E$ (où $E$ est l'ensemble des arêtes du graphe) ? C'est-à-dire, une application de $E$ vers $\{0,1\}$.
Une configuration aléatoire est donc une application de $\Omega$ vers $\{0,1\}^E$.

Ensuite, se donner une application de type $\Omega \rightarrow (E \rightarrow \{0,1\})$, c'est "la même chose" que se donner une application de type $E \rightarrow (\Omega \rightarrow \{0,1\})$ (d'accord ?).

En outre, la loi de la configuration aléatoire est entièrement déterminée par le fait que l'application qu'on lui fait correspondre canoniquement, de type $E\rightarrow (\Omega \rightarrow \{0,1\})$ est une suite (indexée par $E$) de variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées, de loi de Bernoulli.

Bref, via cette identification, ce que tu demandes est trivial.


Par ailleurs, la locution "une configuration passe par une arête" me semble peu judicieuse, a priori (et ne l'ai jamais entendu). Je préférerais dire que l'arête est "ouverte" dans la configuration, ou "active", ou quelque chose d'autre.

Euh, ta façon de dire les choses laisse entendre qu'il y a de gros malentendus, mais je me trompe peut-être ; en tout cas, je vais essayer de repartir de loin pour mettre les choses à plat, ok ?

1) Quand on fait des probabilités, il y a un univers $\Omega$, qui est un espace muni d'une probabilité $\mathbb{P}$. En général, on ne l'explicite pas vraiment, la raison serait peut-être plus claire dans quelques instants.

Ses éléments s'appellent des éventualités, et les éléments de la tribu (à qui je n'ai pas donné de nom) sont appelés événements.

2) Si $F$ est un ensemble muni d'une tribu, on appelle "$F$-truc aléatoire" une application mesurable $\Omega \rightarrow F$. Par exemple, un $\mathbb{R}$-truc aléatoire est une application mesurable $\Omega \rightarrow \mathbb{R}$, et on appelle plutôt ça une "variable aléatoire réelle", d'habitude. Un "entier aléatoire", c'est une application mesurable $\Omega \rightarrow \mathbb{N}$. Dans cette définition, on sous-entend $\Omega$, mais on n'en fait pas mention, car le "but" est de l'oublier.

3) Si $F$ est un ensemble et que $\mathcal{T}$ est une tribu sur $F$, et que $X : \Omega \rightarrow F$ est une application mesurable, on appelle loi de $X$ l'application, de $\mathcal{T}$ dans $[0,1]$ qui à tout $B$ associe $\mathbb{P}[X^{-1}(B)]$.

4) Imagine maintenant qu'on a deux Omega : $\Omega_1$ et $\Omega_2$ qui sont tous deux des espaces de probabilité, et qu'on a $X_1 : \Omega_1 \rightarrow F$ et $X_2 : \Omega_2 \rightarrow F$ deux applications mesurables (des $F$-trucs aléatoires, mais pas définis sur le même $\Omega$). Eh bien, si $X_1$ et $X_2$ ont même loi, tout ce que le cours de proba aura a dire sur chacune de ces applications sera vraie pour l'autre ; ou encore, les probabilités ne prétendent répondre qu'à des questions dont la réponse ne dépend pas de la variable aléatoire, mais seulement de sa loi.

5) Il faut méditer les points 1) à 4) et se convaincre qu'en fait, quand on décide de se raconter l'histoire en langage probabiliste, on ne parle jamais de $\Omega$ (ou plutôt, on "fait semblant" de ne jamais en parler) et on ne parle que des lois des variables aléatoires.

6) Il faut aussi méditer sur la notation probabiliste : si $X : \Omega \rightarrow F$ est une application mesurable et $B$ est une partie de $F$, l'événement $\{\omega \in \Omega \ \vert \ X(\omega) \in B\}$ se note... $\{X \in B\}$, notation qui cache délibérément $\Omega$.

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Bref, ton "normalement, on a $\Omega = \{0,1\}^E$" ferait bondir certain.e.s probabilistes : dans ce choix de point de vue, peu importe qui est $\Omega$.

En tout cas, si tu souhaites que $\Omega = \{0,1\}^E$, cela ne te posera pas de problème par la suite, mais ne t'aidera pas à résoudre les questions probabilistes que tu te poseras, puisque par définition, celles-ci ne dépendent pas de ce choix que tu fais. Quand je dis que ça ne t'aidera pas, je veux dire que ce n'est pas une hypothèse qui est plus forte qu'une autre (un peu comme, dans une situation où tu veux démontrer $x>5$, on te donne l'hypothèse $x>7$ qui t'aide beaucoup) ; mais cela peut t'aider sur le plan psychologique (un peu comme, par exemple, tu aurais peut-être du mal à résoudre un exercice d'analyse où la fonction s'appelle $x$ et les réels s'appellent $f$).

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Petite digression : soit $f : A \rightarrow C^B$. Posons $\tilde{f} : B \rightarrow C^A$ de la façon suivante :

pour tout $b\in B$, pour tout $a \in A$, on pose $\left(\tilde{f}(b)\right)(a) := (f(a))(b)$. Est-ce que tu es d'accord que $f$ et $\tilde{f}$ sont à peu près la même chose ?
Ca va "servir par la suite".

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Retour à nos moutons. De deux choses l'une :

a) soit on pose $\Omega := \{0,1\}^E$ et il reste à notre charge de définir une mesure de probabilité intéressante et qui traduit les hypothèses de ton contexte, sur la tribu engendrée par les cylindres ;

b) soit on prend un $\Omega$ espace de probabilité quelconque, et on suppose l'existence d'une application $X : \Omega \rightarrow \{0,1\}^E$ qui est mesurable et dont la loi vérifie des hypothèses qui collent à ton contexte.

Si la situation est a), alors la théorie de la percolation impose de munir $\{0,1\}^E$ de la mesure de probabilité produit des $(1-p)\delta_0 + p\delta_1$ ; ou encore, c'est l'unique mesure de probabilité sur $\{0,1\}^E$ telle que pour tout entier $k$, et toute suite finie $e_1,\cdots,e_k$ deux à deux distincts d'éléments de $E$ et $b_1,\cdots,b_k$ éléments de $\{0,1\}$, le sous-ensemble mesurable $\{\omega \in \{0,1\}^E \ \vert \ \forall i \in \{1,\cdots,k\}, \quad \omega(e_i) = b_i\}$ a probabilité $(1-p)^ap^b$ où $a$ est le nombre de $b_i$ qui valent $0$ et $b$ est le nombre de $b_i$ qui valent $1$.
Dans ce cas, par définition, l'événement "l'arête $e$ est ouverte" est $\{\omega \in \{0,1\}^E \ \vert \ \omega(e) = 1\}$ et alors, comme cas particulier de la définition de la probabilité que je viens d'écrire, ce sous-ensemble a probabilité $p$.

Si la situation est b), alors on dit la chose suivante : une configuration aléatoire (i.e. une application $\Omega \rightarrow \{0,1\}^E$) c'est la même chose qu'une application $E \rightarrow (\Omega \rightarrow \{0,1\})$ (d'après ce que j'ai dit plus haut) et on peut d'ailleurs appeler ça une "famille indexée par $E$ de <<$0$ ou $1$>> aléatoires".

Eh bien, pour définir la loi de la première, on définit la loi de la deuxième, et la théorie de la percolation impose de décider que la famille de $0$ ou $1$ aléatoires doit être une famille indépendante, identiquement distribuée, de variables de Bernoulli de paramètre $p$.

Et dans ce cas, la réponse est encore évidente : la probabilité que l'arête $e$ soit ouverte, c'est la probabilité que la $e$-ème variable de Bernoulli de la famille prenne la valeur $1$ ; et, par définition d'une variable de Bernoulli, ça vaut $p$.

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En fait, la situation a) est souvent choisie par les personnes qui ont une imagination qui colle plus à la théorie de la mesure, et la situation b) est choisie par les personnes qui ont une imagination qui colle plus à la théorie des probabilités.