Dérivée de la fonction de répartition

Bon je précise ma pensée on peut facilement montrer que si $F$ est la fonction de répartition d'une mesure absolument continue par rapport à Lebesgue alors
$$
\int \varphi' F = - \int f \varphi,

$$ pour tout $\varphi$ $C^{1}$ à support compact.

C'est la définition de dérivée faible si $F \in L^{p}$ ce que je n'ai pas prouvé pour l'instant.

C'est vrai qu'en pratique on veut exprimer la densité comme la dérivée de la fonction de répartition pas nécessairement la dérivée faible.