Application de ce résultat

Voici un petit exercice sans grande difficulté mais qui semble cacher des applications... sans que je sache lesquelles.
En connaîtriez-vous ?Soit $P$ un polynôme réel non nul à coefficients positifs ou nuls et $f:x\mapsto \exp(P(x))$.
1. Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de 0, de rayon de convergence $+\infty$.
2. Soit $(b_n)_{n\in\N}$ la suite réelle telle que pour tout $x\in\R$ $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}b_n x^n$. Montrer que $\forall n\in\N,b_n\geq 0$.
Pour tout $x>0$, on note $X_x$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ telle que :
\[\forall n\in\N,\mathbb{P}(X_x=n)=\frac{b_n x^n}{f(x)}\]
3. Soit $x>0$. Exprimer $\mathbb{E}(X_x )$ et $\mathbb{V}(X_x )$ à l’aide de $P$.
4. Soit $d$ un réel tel que $2d>\deg(P)$. Pour $x>0$, on note $I_{x,d}=\{n\in\N,|n-xP' (x)|\geq x^d \}$ et $\displaystyle g_d (x)=\sum_{n\in I_{x,d}}b_nx^n$.
Montrer qu'au voisinage de $+\infty$, $g_d (x)=o(f(x))$.Source : RMS 130-2 – exercice n°465 – Polytechnique PC