Questions autour du brownien
Voici trois questions concernant le mouvement brownien que je ne suis pas sûr de résoudre correctement.
1/ Calculer la variance de la moyenne arithmétique d'un brownien
2/ Quelle est la probabilité qu'un mouvement brownien baisse demain et baisse encore plus le lendemain.
3/ Que peut-ont dire de : Intégrale ( sto ) de 0 à t de : Sign ( Bs ) * dBs,
où Bs est un mouvement brownien standard et sign ( 0 ) = 0
Je vous remercie pour vos réponses.
1/ Calculer la variance de la moyenne arithmétique d'un brownien
2/ Quelle est la probabilité qu'un mouvement brownien baisse demain et baisse encore plus le lendemain.
3/ Que peut-ont dire de : Intégrale ( sto ) de 0 à t de : Sign ( Bs ) * dBs,
où Bs est un mouvement brownien standard et sign ( 0 ) = 0
Je vous remercie pour vos réponses.
Réponses
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Bonjour
Pour tes deux premières questions.
1) Si ton mouvement brownien part de 0 (ou de n'importe quelle constante), alors écris tout simplement que $B_t = B_t - B_0$, puis utilise la propriété d'indépendance des accroissements et la loi des accroissements.
2) Pareil, écris la probabilité que tu veux calculer puis utilise l'indépendance des accroissements et la loi des accroissements (ce sont vraiment les deux propriétés clés).
Pour la 3), je n'ai malheureusement jamais su ce qu'était une intégrale stochastique.
Si d'ailleurs quelqu'un a une bonne référence accessible pour cela, je suis preneur ! -
Salut!
Une indication pour le 3/ : tu peux remarquer que le processus en question est une martingale locale et calculer sa variation quadratique -
Bonjour,
Sans être très pointu en calcul stochastique, il me semble que $$\int_0^t \text{sgn}(B_s) dB_s = B_0 + \big|B_t-B_0\big|,$$ tout simplement.
Les deux autres questions ; je ne comprends pas l'énoncé. -
@marsup: Je suis un peu surpris par ton résultat car je pensais plutôt au théorème de Lévy (voir ici). Il me semble qu'il manque un temps local dans ton équation (on retomberait sur la formule de Tanaka)
-
Ah oui Zazou, tu as raison : ce que je propose ne va pas du tout ! Il faudrait soustraire un terme de dérivée seconde de la valeur absolue pour chaque fois où $B_t$ passe par 0.
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Bonjour!
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