Question loi uniforme
Je n'arrive pas à aboutir dans mes calculs sur la question suivante.
On distribue 3 variables A,B et C uniformes dans [0,1]
Quelle est la probabilité que :
(A>C et A>B) ?
Merci pour votre aide.
On distribue 3 variables A,B et C uniformes dans [0,1]
Quelle est la probabilité que :
(A>C et A>B) ?
Merci pour votre aide.
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Réponses
A, B, C indépendantes ?
$A,B,C$ peuvent tomber dans six ordres possibles :
$$[A<B<C] \qquad [B<A<C] \qquad[C<B<A] \\
[A<C<B] \qquad [C<B<A] \qquad [B<A<C]$$
Sous tes hypothèses, quelle est la probabilité de chacun de ces six ordres ?
Quels ordres conduisent à l'événement que tu veux ?
on peut aussi dire que A,B,C (indépendantes) ont des rôles symétriques dans les hypothèses, et donc
P ( A = max(A,B,C) ) = P( B = max(A,B,C) ) = P( C = max(A,B,C) )
et que la somme de ces 3 probas est 1 ...
Ma question n'a pas tellement de rapport avec la précédente, mais elle porte sur des lois uniformes donc ce n'est peut-être pas nécessaire d'ouvrir un nouveau fil.
Je cherche la densité de probabilité de la somme de deux variables (indépendantes) : X1 uniforme sur [50;60] et X2 uniforme sur [40;45].
Je voudrais utiliser un produit de convolution mais les lois n'ayant pas le même "support", je n'arrive pas à m'en sortir pour l'intégrale.
Je vois bien que la densité de la somme vaut 0 hors de [90;105] et j'ai le sentiment qu'elle est maximale entre 95 et 100 ... malheureusement je n'arrive pas à mieux que ça ...
il existe des réels $a$ et $b$ tels que $X_1=aY_1+b$ avec $Y_1$ uniforme sur $[0,1]$. Idem pour $X_2$.
Cordialement.
NB : Il n'est peut-être pas nécessaire de se ramener à des intervalles de même longueur.
- $1_{[a,b]}(t)=1_{[a,+\infty[}(t)1_{]-\infty,b]}(t)$
- $x$ étant fixé, l'appartenance de $x-t$ a un ensemble peut se réécrire comme l'appartenance de $t$ à un autre ensemble.
Math Coss : j'avais fait ce dessin aussi mais ne voyais pas comment l'exploiter pour retrouver la densité cherchée. En particulier, comment vois-tu que son graphe est un trapèze grâce à ça ? ( je m'en étais servi néanmoins pour cedont j'avais besoin au départ, à savoir calculer P(X+Y>100))
Sinon j'ai mis en pièce jointe ce que j'ai fait, il y a forcément une bêtise car elle n'est pas continue en 95...
(et au niveau du formalisme, de la rédaction, cela vous semble-t-il correct ? j'ai un peu l'impression de marcher sur des oeufs quand je rédige des probas)
Du coup je pense que le résultat est correct en remplaçant la première expression par x/50-90/50?
Mais j'ai un peu l'impression d'avoir sorti la grosse artillerie, il n'y avait pas plus simple ?
Alea, j'ai essayé d'exprimer l'aire de la partie du rectangle qui est à gauche de x+y=z... Sans succès (enfin sauf en primitivant ce que j'ai trouvé plus haut bien entendu, mais ça n'a pas d'intérêt dans le cadre de ce que je cherchais au départ)
Dans chacun des cas, on regarde les distances sur la figure et on a un petit calcul d'aire de polygone.
J'y arrive dans les cas particuliers simples P(X+Y<z) avec z=95 ou 100, mais je n'arrive pas à le généraliser. Je me doute bien que ce n'est pas de la haute voltige pourtant ... :S
Pour $90\le z\le95$, la surface $\{(x_1,x_2),\ x_1+x_2\le z\}$ est $\frac12(z-90)^2$, l'aire du triangle foncé. La fonction de répartition de $X_1+X_2$ prend donc en $z$ la valeur $F(z)=\frac{(z-90)^2}{2\times50}$. La convolée est la densité de $X_1+X_2$, elle vaut donc $F'(z)=\frac{z-90}{50}$.
Pour $95\le z\le100$, l'aire est celle du triangle, $F(95)$, plus l'aire d'un parallélogramme de base $z-95$ et de hauteur $50$, soit $F(z)=F(95)+\frac{5\cdot(z-95)}{50}$. La dérivée est constante égale à $\frac1{10}$, qui « par chance » est égal à $F'(95)$.
Pour $100\le z\le105$, l'aire est celle du rectangle complet moins celle d'un triangle rectangle isocèle de petit côté $105-z$, soit $F(z)=1-\frac{(105-z)^2}{2\times50}$ et $F'(z)=\frac{105-z}{50}$. Par chance, ça vaut bien $\frac1{10}=F'(100)$ en $100$.
Premier calcul. On cherche \[\mathbf{1}_{[a,b]}*\mathbf{1}_{[c,d]}(z)=\int_\R\underbrace{\mathbf{1}_{[a,b]}(t)\mathbf{1}_{[c,d]}(z-t)}_{h(z,t)}\mathrm{d}t.\] On distingue des cas :
- si $z<a+c$, alors $h(z,t)=0$ pour tout $t$
- si $a+c\le z\le a+d$, alors $h(z,t)=1$ SSI $a\le t\le b$ et $c\le z-t\le d$ SSI $a\le t\le b$ et $z-d\le t\le z-c$ SSI $a\le t\le z-c$
- si $a+d\le z\le b+c$, alors $h(z,t)=1$ SSI $z-d\le t\le z-c$
- si $b+c\le z\le b+d$ alors $h(z,t)=1$ SSI $z-d\le t\le b$
- si $b+d<z$, alors $h(z,t)=0$ pour tout $t$
On en déduit que \[(en effet, si $t<a$ ou $t>b$ alors $\mathbf{1}_{[a,b]}(t)=0$ et si $a\le t\le b$, alors $z-t<a+c-a$ donc $\mathbf{1}_{[c,d]}(z-t)=0$) ;
(en effet, $z-d\le a$ donc la condition $z-d\le t$ est automatique et $z-c\le a+d-c\le b+c-c$ donc la condition $t\le b$ est automatique) ;
(en effet, $a\le z-d$ donc la condition $a\le t$ est automatique et $z-c\le b$ donc la condition $t\le b$ est automatique) ;
(en effet, $a\le z-d$ donc $a\le t$ est automatique et $c\le z-b$ donc $c\le z-t$ est automatique, ou quelque chose du genre) ;
(en effet, si $t<a$ ou $t>b$ alors $\mathbf{1}_{[a,b]}(t)=0$ et si $a\le t\le b$, alors $b+d-b<z-t$ donc $\mathbf{1}_{[c,d]}(z-t)=0$).
\mathbf{1}_{[a,b]}*\mathbf{1}_{[c,d]}(z)=\begin{cases}
0&\text{si $z<a+c$ ou $b+d<z$ ;}\\
z-c-a&\text{si $a+c\le z\le a+d$ ;}\\
d-c&\text{si $a+d\le z\le b+c$ ;}\\
b+d-z&\text{si $b+c\le z\le b+d$.}
\end{cases}\]On peut par acquit de conscience en calculer l'intégrale, en espérant trouver l'aire $(b-a)(d-c)$ du rectangle : \begin{align*}\int_\R
\mathbf{1}_{[a,b]}*\mathbf{1}_{[c,d]}(z)\mathrm{d}z&=
\int_{a+c}^{a+d}(z-c-a)\mathrm{d}z+
\int_{a+d}^{b+c}(d-c)\mathrm{d}z+
\int_{b+c}^{b+d}(b+d-z)\mathrm{d}z\\&=
\frac12(d-c)^2+(d-c)(b+c-a-d)+\frac12(d-c)^2=(b-a)(d-c).
\end{align*}
Deuxième calcul. J'ai fermé (irrémédiablement) la fenêtre où j'avais écrit la moitié du calcul alors on va faire la version abrégée, suivant la suggestion d'Aléa supra. On calcule la fonction de répartition $F$ de $X_1+X_2\newcommand{\un}{\mathbf{1}}$.
Comme $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes et suivent des lois uniformes, la probabilité que $(X_1,X_2)$ appartenant à une région $A$ est le quotient de l'aire de l'intersection de $A$ et du rectangle $R=[a,b]\times[c,d]$ par l'aire de $R$. Je note $G=(b-a)(d-c)F$ pour éviter les quotients. On calcule $G(z)$, l'aire de $A_z\cap R$ où $A_z=\{(x_1,x_2)\in\R^2,\ x_1+x_2\le z\}$ en distinguant des cas :
- si $z<a+c$, $G(z)=0$ ;
- si $a+c\le z\le a+d$, $G(z)$ est l'aire du triangle rectangle isocèle de côtés $(a,c)$, $(z-c,c)$ et $(a,z-a)$, soit $G(z)=\frac12(z-a-c)^2$ ;
- si $a+d\le z\le b+c$, $G(z)$ est la somme de l'aire du triangle de côtés $(a,c)$, $(a+d-c,c)$ et $(a,d)$, qui est constante, et de l'aire du trapèze de sommets $(a+d-c,c)$, $(z-c,c)$, $(z-d,d)$, $(a,d)$, qui a pour base $z-a-d$ et pour hauteur $d-c$, soit $G(z)=(d-c)(z-a-d)$ ;
- si $b+c\le z\le b+d$, $G(z)$ est l'aire de $R$ privé du triangle isocèle de sommets $(b,z-b)$, $(z-d,d)$ et $(b,d)$, soit $G(z)=(b-a)(d-c)-\frac12(z-b-d)^2$ ;
- si $b+d<z$, $G(z)=(b-a)(d-c)$.
La convolée cherchée est, à l'aire de $R$ près, la densité de $X_1+X_2$, c'est-à-dire $G'$ :Moi j'avais gardé tous les (b-a)(d-c) aux dénominateurs car j'aime me faire du mal ( et que je n'avais pas spécialement pensé à utiliser une autre variable