Comment optimiser un gain? espérance positive

Bonjour,

Tu joues avec une probabilité de gain : $p$ et de perte $q=1-p$, ici $p=70\%$ et donc $q=30\%.$

Le gain est une fraction $a$ de la mise, ici $a=50\%.$
La perte est une fraction $b$ de la mise, ici $b=100\%.$

Pour commencer à jouer, il faut vérifier que l'espérance de gain est strictement positive : $p a - q b = 5\% >0.$

La stratégie optimale (dans un sens mathématique à donner) est obtenue en pariant une fraction constante des unités en réserve, ici cette fraction est $f=p/b - q/a = 10\%.$

Donc partant de $100$ unités, tu mises $10$, puis si tu en gagnes $5$, tu en as $105$ et tu mises donc $10.5$ ou tu arrondis... Si tu perds $10$, tu as $90$ en réserve, et tu mises donc $9$... et ainsi de suite.

Fais des applications numériques. Regarde la performance de cette stratégie optimale.

Tu verras que le gain est fort mais la variance peut effrayer. Si tu veux maximiser les gains tout en contrôlant la variance, alors tu peux appliquer un coefficient de réduction des mises, disons $70\% \times f$ ou $80\% \times f$ : je conseille $80\% \times f$.

De nouveau, fais des applications numériques.

La démonstration est simple mais pas évidente à trouver... Je suppose que tu cherches la bonne stratégie pour la tester numériquement. Si tu cherches la démonstration, c'est une autre histoire.

On change un peu, on peut miser autant de fois qu'on veut, mais on veut quand même limiter le nombre de mises.
On a donc 2 objectifs, un peu antinomiques : jouer la sécurité, et arrver plus ou moins vite à 1000.
Et quand on a 2 objectifs, il faut faire un compromis, il faut décider quel risque on accepte, ou quel nombre de coups maximum. ou un chemin intermédiaire entre les 2.

Si on mise tout à chaque fois, on atteint les 1000 en 6 coups, mais c'est archi risqué.

Disons qu'on veuille batir une stratégie pour atteindre les 1000 en 60 coups.

On va passer aux logarithmes. On veut passer de ln(100) à ln(1000) en 60 coups.
Supposons qu'à chaque étape on mises X% de son capital ... au moins pour les 40 ou 50 premières étapes. Si au bout de 50 étapes, on est loin de l'objectif, on ajustera ce coefficient X, pour l'augmenter.

Donc après une victoire , le capital passe de C = C * ( 1+X/2), en cas de victoire, et on passe à C *(1-X) en cas de défaite (je mélange des pourcentages et des proportions... on corrigera)
Autrement dit, sur mon échelle logarithmique, on passe de ln(C) = ln(C)+ ln(1+X/2) en cas de victoire (proba=70%) ou à ln(C)+ ln(1-X) en cas d'échec.
En moyenne, on passe de ln(C) à ln(C) + 0.7* ln(1+X/2) +0.3 ln(1-X)
Et comme on veut arriver à l'objectif en une soixantaine de coups, on doit résoudre l'équation :
60* ( 0.7* ln(1+X/2) +0.3 ln(1-X) ) = ln(10)
Problème, cette équation n'a pas de solution.

On a dit au tout début que l'espérance était positive. Mais revenons sur ce point.
En fait, si on dit : A chaque coup, je mise 20% de mon capital, l'espérance est négative (si on remplace X par 0.2 dans 0.7* ln(1+X/2) +0.3 ln(1-X), on arrive à un nombre négatif).
Si on dit : A chaque coup, je mise 15% de mon capital, l'espérance est positive, mais faible.
Si on dit : A chaque coup, je mise tout mon capital, l'espérance est négative, il va forcément y avoir une fois où je vais tout perdre.


Si on veut miser systématiquement la même proportion de son capital (le même X dans la formule ci-dessus), la valeur qui permet de monter le plus vite est environ 10% : c'est avec X=0.1 que l'expression 0.7* ln(1+X/2) +0.3 ln(1-X) atteint son maximum.
Je n'avais pas vu le message de YvesM, mais on retrouve son 10%

En misant Systématiquement 10% de son capital, on va faire du yoyo, et on va arriver en général proche de 1000 ... mais au bout de 900 lancers environ seulement.

Si tu veux impérativement une stratégie pour arriver à 1000 en 100 coups par exemple, alors il faut spéculer sur une chance supérieure aux 70% annoncés. Je parie que sur les 100 lancers, je vais gagner 75 coups , et perdre 25 ( au lieu de 70/30), il faut alors remplacer 0.7 par 0.75 dans les formules ci-dessus. On trouve que dans ce cas, c'est en misant environ 25% de son capital qu'on a la meilleure stratégie... Mais ça ne suffit toujours pas pour atteindre les 1000 en 100 coups.

Reste les stratégies où on fait évoluer la mise ... qui sont forcément les bonnes.
Ici, on disait qu'on misait 10% de son capital à chaque fois.
Si on perd les 2 ou 3 premiers coups, alors l'objectif s'éloigne, on ne veut plus multiplier son capital par 10 en 100 coups, on veut le multiplier par 14 ou 15, en 97 coups ! Ca devient plus ardu, il faut prendre des risques, quitte à tout perdre.

On dit que l'espérance est positive, soit, mais elle est très faible. Et dans un parcours, il y a des hauts et des bas.
On veut atteindre un haut qui est à +900, sachant que si dans le parcours, on perd 100 ... c'est éliminatoire.

Si on commençait à 500, avec objectif d'arriver à 1000, il y aurait forcément des stratégies gagnantes (les 2 seuils sont à même distance du point de départ, et en misant toujours la même mise , on gagne statistiquement un petit peu.
Mais ici le point de départ est tout proche du précipice.
On est au bort du précipice, et on marche de façon plus ou moins aléatoire ... presque parallèle au précipice.

J'ai fait quelques simulations, et a priori, il n'y a pas de stratégie qui te permette de gagner dans 50% des cas. Avec certaines stratégies, on doit pouvoir gagner dans 30% des cas , ou un peu mieux. Mais pas beaucoup mieux.

C'est ce que je pensais au tout début, mais non.
Avec des mises les plus petites possibles, on limite les accidents, on limite la variance, c'est l'objectif.
Et comme l'espérance est positive, on parie raisonnablement qu'on arrivera à un moment à 1000.
Mais 1000 est très loin de 100, alors que 0 n'est pas loin de 100.
Donc, oui, on arrivera à un moment à 1000. Mais il y a une proba très forte qu'on passe d'abord par 0. Et donc que la partie s'arrête avant qu'on arrive à 1000.