Conditions d'existence équation stochastique

zestiria · July 2021

$W_t$ est un mouvement brownien standard adapté

On considère l'équation différentielle stochastique suivante :
$X_t= \int_{0}^t a(s,X_s) dW_s + \int_{0}^t b(s,X_s) ds , t \in[0,T]$ notée $SDE(a,b)$

1. Si $a(t,x) = |x|^{\alpha}$ avec $\alpha > \dfrac12$ et $b$ lipschitz, est-ce que $SDE(a,b)$ admet une unicité de trajectoire (pathwise uniqueness) ? une unicité de loi (uniqueness in law ) ?

2. $a(t,x)=a(x)$ et $b(t,x)=0$ est-ce que $SDE(a,0, \delta_{x_0})$ admet une existence et une unicité en loi ?

Il y a trop de théorèmes d'existence, d'unicité, bref... comment procéder de manière systématique ?

référence : maths stack exchange

Riemann_lapins_cretins · July 2021

De manière systematique les coefficients lipschitziens et la condition initiale adaptée à la filtration du mouvement brownien et telle que l'espérance de son carré ait une borné supérieure finie sur [0,T], sont ce qu'on rencontre presque tout le temps, niveau M2 du moins. Il y a existence et unicité à indistinguabilité près sur [0,T].

Tu essaies de te réorienter ?

zestiria · July 2021

La condition sur les coefficients lipschitziens est la condition de base. Il est faux de dire qu'en M2, c'est la seule condition abordée.
Je te renvoie par exemple à ce cours de l'université de Rennes 2, au niveau M2 page 47 (numérotation interne du polycopié).

Riemann_lapins_cretins · July 2021

J'ai eu un cours aussi, merci. Tu demandes une manière systematique, en général ça marche dans les cas concrets niveau M2.
Sinon il y a un autre critère :
$$ \lvert b(y) - b(x) \rvert + \lvert a(y) - a(x) \rvert^{2} \leq C \lvert x - y \rvert $$

S'ils ne suffisent pas il faut que tu éclaires ta question sur la manière systématique de faire. Je l'interprète "comment faire dans les cas concrets ?". Dans les cas concrets, je n'ai vu que ça au niveau M2.

Et tu fais ça pour le plaisir ou pour changer de métier ?

zazou · July 2021

Il faut dire que la question est vague.

Dans mon expérience (qui concorde donc avec celle de @Riemann_lapins_cretins), on obtient souvent l'unicité d'une solution forte en montrant que $a$ et $b$ sont localement Lipschitz (avec quelques détails en plus) et l'existence en montrant que $a$ et $b$ sont globalement Lipschitz.

Puisque tu sembles déjà connaître ces résultats, tu peux trouver plus de détails dans le livre de Karatzas et Shreve, par exemple la proposition 5.2.13 pour un résultat meilleur sur les solutions fortes, ou les les sections 5.3 et 5.4 pour les solutions faibles.