J'ai un doute à partir de la question 4.
$Z_k$ peut s'écrire comme une intégrale par rapport à une martingale $M_k$ donc cela suffit pour dire que c'est une martingale. Il ne faut pas prouver autre chose en plus ?
A ce stade, j'ai l'impression que $Z$ satisfait l'équation différentielle stochastique de Doleans-Dade pour la mesure compensée, issue du processus de Poisson intial qui est composé.
Merci Zestiria pour l’ensemble de tes posts récents sur des EDS sympas. Même si tu es seul à te répondre pour l’instant, tu nous donnes des bonnes choses à mâcher.
Réponses
J'ai un doute à partir de la question 4.
$Z_k$ peut s'écrire comme une intégrale par rapport à une martingale $M_k$ donc cela suffit pour dire que c'est une martingale. Il ne faut pas prouver autre chose en plus ?
\begin{align*}
Z(t) &= \Pi_{k=1}^n Z_k(t) \\
&= 1 +\sum_{k=1}^n \int_0^{t} \dfrac{ \tilde{\lambda}_ k - \lambda_k }{ \lambda_k } \Pi_{k=1} ^n Z_k(s) dM_k(s) \\
&= 1 + \sum_{k=1}^n \int_0^{t} \dfrac{ \tilde{\lambda}_ k - \lambda_k }{ \lambda_k } Z(s) dM_k(s) \\
&= 1 + \int_0^{t} \sum_{k=1}^n \dfrac{ \tilde{\lambda}_ k - \lambda_k }{ \lambda_k } Z(s) dM_k(s) \\
&= 1 + \int_0^{t} Z(s) dM(s) \\
M(s) &= \sum_{k=1}^n \dfrac{ \tilde{\lambda}_ k - \lambda_k }{ \lambda_k } M_k(s) \\
\end{align*}
Comment appliquer la formule de Doleans-Dade dans ce cas ? dernière diapositive
Il y a une indication p27
Référence : Maths Stack Exchange