Un calcul d'espérance conditionnelle

Bonjour à tous,

J'ai un calcul d'espérance conditionnelle à faire, et je voudrais savoir si mon calcul est juste, ou si j'ai écrit n'importe quoi... Merci pour vos réponses !

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $1$. Soit $Y$ la variable aléatoire qui prend la valeur $0$ si on a $X\leq 2$ et qui prend la valeur $X-2$ si on a $X>2$. On cherche $\mathbb{E}[Y|X>2]$.

J'ai fait le calcul suivant, en notant $f$ la densité d'une loi exponentielle de paramètre $1$ :
$$\begin{aligned}
\mathbb{E}[Y|X>2]
&=\dfrac{1}{\mathbb{P}([X>2])}\int_{2}^{+\infty}(t-2)f(t)\mathrm{d} t\\
&=\mathrm{e}^{2}\int_{2}^{+\infty}t\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d} t-\mathrm{e}^2\int_{2}^{+\infty}2\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d} t\\
&=\mathrm{e}^{2}\left(\left[-t\mathrm{e}^{-t}\right]_{2}^{+\infty}+\int_{2}^{+\infty}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d} t\right)-2\mathrm{e}^2\int_{2}^{+\infty}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d} t&\text{par intégration par parties}\\
&=\mathrm{e}^2\left(0+2\mathrm{e}^{-2}+\int_{2}^{+\infty}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d} t\right)-2\mathrm{e}^2\int_{2}^{+\infty}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d} t&\text{par croissances comparées}\\
&=2+\mathrm{e}^2\int_{2}^{+\infty}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d} t-2\mathrm{e}^2\int_{2}^{+\infty}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d} t\\
&=2-\mathrm{e}^2\int_{2}^{+\infty}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d} t\\
&=2-\mathrm{e}^2\left[-\mathrm{e}^{-t}\right]_2^{+\infty}\\
&=2-\mathrm{e}^2\left(0+\mathrm{e}^{-2}\right)\\
&=2-1=1.
\end{aligned}$$