Convergence en loi

Brigate · July 2021

Bonjour
En lisant la solution d’un exercice ce matin je suis tombé sur l’affirmation suivante sans autre explication :

$\frac{1}{\sqrt{t}} \ln \big( \int_0^t \exp(B_s) ds\big) $ converge en loi vers $\sup_{s \in [0,1]} B_s$ quand $t \to \infty$

Je ne vois pas en quoi c’est évident ni même comment ça se démontre. Un peu d’aide s’il vous plaît ?

P. · July 2021

On sait que $B(ut)\sim \sqrt{t}B(u)$ pour $t$ fixe et donc
$$\int_0^1e^{B(ut)}du\sim \int_0^1e^{\sqrt{t}B(u)}du$$ De plus pour une fonction $f$ bornee strictement positive on sait que $$\lim_{r\to \infty }\left(\int_0^1f(u)^{r}du\right)^{1/r}=\|f\|_{\infty}.$$ Tu appliques cela a $f(u)=e^{B(u)}$ et a $r=\sqrt{t}.$

Brigate · July 2021

Ah mais oui ! Suis-je bête ! ::o j’aurais pu chercher un moment!

Merci beaucoup P. !

Convergence en loi

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