Différence entre les sup d’un brownien
Bonjour,
Encore une question probablement idiote : je cherche à montrer que $S_2-S_1$ a la même loi que $\max(0, |X|-|Y|) ,$
où $S_t= \sup \{ B_s \mid s \leq t \}$ et $X$, $Y$ deux variables indépendantes de loi normale$(0,1).$
Je me suis dit que $S_2=\max(S_1, \sup \{ B_s \mid s \in [1,2] \} )$ qui a même loi que $\max(S_1, B_1 + \sup \{ W_s \mid s \in [0,1] \} )$ avec $W$ Brownien indépendant de $\sigma (B_s ; s \leq 1)$.
Donc avec le principe de réflexion je conclus que $S_2-S_1$ a même loi que $\max\big(0, |X| -(S_1-B_1)\big)$
Maintenant j’aimerais montrer que $S_1-B_1$ a même loi que $|Y|$ mais je ne vois pas comment faire.
Merci d’avance.
Encore une question probablement idiote : je cherche à montrer que $S_2-S_1$ a la même loi que $\max(0, |X|-|Y|) ,$
où $S_t= \sup \{ B_s \mid s \leq t \}$ et $X$, $Y$ deux variables indépendantes de loi normale$(0,1).$
Je me suis dit que $S_2=\max(S_1, \sup \{ B_s \mid s \in [1,2] \} )$ qui a même loi que $\max(S_1, B_1 + \sup \{ W_s \mid s \in [0,1] \} )$ avec $W$ Brownien indépendant de $\sigma (B_s ; s \leq 1)$.
Donc avec le principe de réflexion je conclus que $S_2-S_1$ a même loi que $\max\big(0, |X| -(S_1-B_1)\big)$
Maintenant j’aimerais montrer que $S_1-B_1$ a même loi que $|Y|$ mais je ne vois pas comment faire.
Merci d’avance.
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Réponses
$$\Pr(S_1>b,B_1<a)=\int_{2b-a}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt,$$ valable pour $b>\max(0,a).$ Celle ci te donne la densite $f(a,b)$ du couple $(B_1,S_1)$ et te permet de calculer la loi de $S_1-B_1$ qui est effectivement celle de ton $|Y|.$
J'ai ete surpris de m'apercevoir que $|X|-|Y|\not\sim N(0,2)!$
Je pensais que le fait que $S_t$ a même loi que $|B_t|$ était une conséquence du principe de réflexion, c'est pour ça que je l'ai mentionné. Me trompais-je ?
A ma grande honte, je n'ai jamais vraiment compris comment les gens retrouvais tout de suite la densité a partir d'une formulation de ce genre. (quitte a passer pour un idiot un jour, j'ai décidé que ce serait aujourd'hui...)
J'ai bien conscience que $$\Pr(S_1>b,B_1<a)=\int_b^{\infty} \int_{- \infty}^a f(x,y)dxdy$$ avec $f$ la densite du couple $(B_1,S_1)$ mais je ne comprends pas bien comment la retrouver a partir d'une expression comme celle-ci : $$\Pr(S_1>b,B_1<a)=\int_{2b-a}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt,$$
Apres, je suppose que calculer $\Bbb E [g(b-a)]$ puis effectuer un changement de variable $\phi : (b,a) \to (b-a,a) $ devrais me permettre de retomber sur la densité de $|Y|$
Merci encore.
Du coup ça devient effectivement très facile de voir que pour $b>\max(0,a)$, $f(a,b)=2(2b-a) \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(2b-a)^2}{2}}$
Merci P. !