Espérance de inverse de la moyenne empirique

Thomas_75 · July 2021

Bonjour à tous
J'ai une question de type vrai-faux qui me pose problème.

Soit $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$ un espace probabilisé. Soit $X$ une variable aléatoire définie sur cet espace admettant une espérance $m$, où $m$ est un réel strictement positif. Soit $\left(X_i\right)_{i\in\mathbb N^*}$ une suite de variables aléatoires réelles définies sur $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$, indépendantes et identiquement distribuées de même loi que $X$. Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $\overline{X}_n$ la moyenne empirique de $(X_1,\ldots,X_n)$. Peut-on dire que $1/\overline{X}_n$ admet pour espérance $1/m$ ?

J'ai l'intuition que c'est faux, car on ne peut pas passer à l'inverse pour l'espérance en règle générale. Certes, en vertu de la loi forte des grands nombres, $\big(\overline{X}_i\big)_{i\in\mathbb N^*}$ converge presque sûrement vers $m>0$. Et comme la fonction inverse est continue sur $]0,+\infty[$, par composition, $\big(1/{\overline{X}_i}\big)_{i\in\mathbb N^*}$ converge presque sûrement vers $1/m$. De là à dire que son espérance est $1/m$, je ne pense pas.
Auriez-vous des pistes pour un contre-exemple ?
Merci pour vos réponses.

Calli · July 2021

Bonjour,
Supposons que les v.a. sont à valeurs positives. La fonction inverse est strictement convexe sur $\Bbb R_+^*$, donc d'après l'inégalité de Jensen, $\Bbb E\Big[ \frac1{\overline{X}_n} \Big]\geqslant \frac1{\Bbb E[\overline{X}_n]}$ (inégalité à prendre dans $[0,+\infty]$) avec égalité ssi $\overline X_n$ est constante p.s.. Or $\overline X_n$ est constante p.s. ssi $X$ l'est aussi. Donc, si $X$ n'est pas constante p.s., alors $\Bbb E\Big[ \frac1{\overline{X}_n} \Big]> \frac1{\Bbb E[\overline{X}_n]}$.

Conclusion : il n'y a qu'à se baisser pour trouver des contre-exemples. :-)

Calli · July 2021

Edit : réponse à un message de Poirot qui a été supprimé depuis.

Poirot a écrit:

$Y=X_1+X_2$ est uniforme sur $[0, 2]$

Je ne crois pas. Sa densité est plutôt trapézoïdale.
Un exemple similaire récent sur le forum (avec une interprétation graphique de Math Coss que j'avais bien aimée) : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,2269982,2274688#msg-2274688.

Poirot · July 2021

Oui bien sûr je raconte n'importe quoi, comme d'habitude quand je décide de ne pas réfléchir !

gerard0 · July 2021

Bonjour.

Discussion difficile à suivre, Calli reprochant à Poirot une phrase qu'il n'a pas écrite ici (sans doute un détachement d'une autre discussion).

Sinon, on voit parfois en statistiques que la moyenne des inverses n'est pas l'inverse de la moyenne (*). En traduisant en probas, on a immédiatement le contre exemple voulu.

Cordialement.

(*) classiquement, la vitesse moyenne sur deux parcours de même longueur.

Calli · July 2021

Le message était là mais Poirot l'a effacé.

P. · July 2021

Si $X>0$ et $L_X(s)=\mathbb{E}(e^{-sX})$ alors $\mathbb{E}(\frac{1}{X})=\int_0^{\infty}L_X(s)ds.$ Et donc
$$\mathbb{E}\Big(\frac{1}{\overline{X}_n}\Big)=\int_0^{\infty}(L_X(s/n))^nds.$$

Poirot · July 2021

Calli a écrit:

mais Poirot l'a effacé

Ce n'est pas moi qui l'ai effacé. :-D Je proposais un contre-exemple (qui fonctionne d'après la jolie preuve de Calli mais) avec des calculs faux.
[C'est moi qui ai effacé le message. :-) AD]