Tribu finie et mesurabilité
Bonjour, j'aurais deux questions.
1: Il est marqué dans mon cours que si $\mathcal B$ est une tribu finie alors il existe des $A_1,\dots,A_n\in \mathcal B$ (les atomes) tel qu'on ait la partition $\Omega=A_1\cup \dots \cup A_n$ et tel que $B\in \mathcal B \iff B=\bigcup_{i\in I}A_i$ pour $I\subset \{1,\dots,n\}$.
J'ai l'impression que cette propriété est complètement triviale et ne dit pas vraiment grand chose non ? Il suffit de prendre l'union de tous les mesurables...
2: Dans ce cas, mon cours affirme aussi que $X:\Omega\to \mathbb R$ est $\mathcal B$-mesurable $\iff X=\sum_{A\text{ atomes}}b_A\mathbf 1_A,$ avec $b_A\in \mathbb R$. Donc les fonctions étagées sont les seules fonctions mesurables. Pourquoi est-ce vrai ?
Merci.
1: Il est marqué dans mon cours que si $\mathcal B$ est une tribu finie alors il existe des $A_1,\dots,A_n\in \mathcal B$ (les atomes) tel qu'on ait la partition $\Omega=A_1\cup \dots \cup A_n$ et tel que $B\in \mathcal B \iff B=\bigcup_{i\in I}A_i$ pour $I\subset \{1,\dots,n\}$.
J'ai l'impression que cette propriété est complètement triviale et ne dit pas vraiment grand chose non ? Il suffit de prendre l'union de tous les mesurables...
2: Dans ce cas, mon cours affirme aussi que $X:\Omega\to \mathbb R$ est $\mathcal B$-mesurable $\iff X=\sum_{A\text{ atomes}}b_A\mathbf 1_A,$ avec $b_A\in \mathbb R$. Donc les fonctions étagées sont les seules fonctions mesurables. Pourquoi est-ce vrai ?
Merci.
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Réponses
Le 2 est une conséquence du 1. Regarde l'image réciproque d'un singleton par une telle fonction.
Pour la 2 on a que $X^{-1}(b)=\bigcup_{i\in I}A_i$ donc $X$ ne prend que des valeurs sur les $A_i$ mais je ne vois toujours pas pour le comportement étagé de $X$...
C'est facile à voir. Tu prends $\omega\in A_1$ et $b=X(\omega)$. Tu sais que $X^{-1}(b)=\bigcup_{i\in I}A_i$ avec $I\subset \{1,\dots,n\}$. On a forcément $1\in I$ et donc $X$ vaut $b$ sur $A_1$ entier et pas que sur $\omega$. Idem pour un $A_k$ quelconque.