Propriété espérance conditionnelle
Bonjour, pour $X\in L^2(\Omega,\mathcal F,\mu)$ et $\mathcal B$ une sous-tribu de $\mathcal F$, on définit $\mathbb E[X\mid\mathcal B]$ comme l'unique variable aléatoire telle que
On montre facilement qu'avec $Z$ qui est $\mathcal B_2$-mesurable on a bien $\mathbb E[XZ]=\mathbb E[\mathbb E[X]Z]$ mais il faudrait encore montrer que $\mathbb E[X]$ est $\mathcal B_2$-mesurable ce que rien n'indique.
D'ailleurs je ne vois pas pourquoi cette égalité a lieu presque sûrement seulement. Merci pour votre aide.
- Elle est $\mathcal B$-mesurable.
- Pour toute fonction bornée $Z$, $\mathcal B$-mesurable on a $\mathbb E[XZ]=\mathbb E[\mathbb E[X\mid\mathcal B]Z]$.
On montre facilement qu'avec $Z$ qui est $\mathcal B_2$-mesurable on a bien $\mathbb E[XZ]=\mathbb E[\mathbb E[X]Z]$ mais il faudrait encore montrer que $\mathbb E[X]$ est $\mathcal B_2$-mesurable ce que rien n'indique.
D'ailleurs je ne vois pas pourquoi cette égalité a lieu presque sûrement seulement. Merci pour votre aide.
Réponses
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Code_Name a écrit:je ne vois pas pourquoi cette égalité [$\mathbb E[X|\mathcal B_2]=\mathbb E[X]$]a lieu presque sûrement seulement
A gauche tu as une variable aléatoire, ça n'a donc de sens de parler d'égalité que presque sûrement.
$\mathbb E[X]$ est $\mathcal B_2$-mesurable puisque c'est une variable aléatoire constante (ou déterministe)... -
Ah oui c'est vrai (je voyais ca comme un nombre qui n'est pas forcément un mesurable (d'une tribu grossière par exemple)), merci :-)
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Bonjour!
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