Propriété espérance conditionnelle

Bonjour, pour $X\in L^2(\Omega,\mathcal F,\mu)$ et $\mathcal B$ une sous-tribu de $\mathcal F$, on définit $\mathbb E[X\mid\mathcal B]$ comme l'unique variable aléatoire telle que

• Elle est $\mathcal B$-mesurable.
• Pour toute fonction bornée $Z$, $\mathcal B$-mesurable on a $\mathbb E[XZ]=\mathbb E[\mathbb E[X\mid\mathcal B]Z]$.

Soient maintenant $\mathcal B_1$ et $\mathcal B_2$ deux tribus indépendantes. J'aimerais montrer que si $X$ est $\mathcal B_1$-mesurable alors $\mathbb E[X\mid\mathcal B_2]=\mathbb E[X]$ p.s.

On montre facilement qu'avec $Z$ qui est $\mathcal B_2$-mesurable on a bien $\mathbb E[XZ]=\mathbb E[\mathbb E[X]Z]$ mais il faudrait encore montrer que $\mathbb E[X]$ est $\mathcal B_2$-mesurable ce que rien n'indique.

D'ailleurs je ne vois pas pourquoi cette égalité a lieu presque sûrement seulement. Merci pour votre aide.