Espérance finie de v.a.

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dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour, soient $X_i$ des v.a. iid telles que $\mathbb E[X_1]=0$ et $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$. Alors pour avoir $\mathbb E[|S_n|]<\infty$ il faut nécessairement que $\mathbb E[X_1^2]<\infty$ non?

En effet $\mathbb E[|S_n|]\leq \mathbb E[S_n^2]^{1/2}$ par Cauchy-Schwarz et ensuite par un calcul assez simple on trouve que $\mathbb E[S_n^2]^{1/2}=(n\mathbb E[X_1^2])^{1/2}$...

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Tu viens de trouver une condition suffisante, mais tu n'as pas montré qu'elle était nécessaire (et elle ne l'est pas, puisqu'il suffit aussi que $\mathbb E(|X_1|) < +\infty$).
  • Code_Name
    Code_Name
    Pourquoi est-ce que ca suffit?
  • Poirot
    Poirot
    Inégalité triangulaire.
  • Code_Name
    Code_Name
    Ah oui (:P)
  • Code_Name
    Code_Name
    Bonjour Poirot, en fait je me rends compte qu'en utilisant l'inégalité triangulaire, l'hypothèse $\mathbb E[X_1]=0$ ne sert à rien non?
  • Grenouille factorielle
    Grenouille factorielle
    L'hypothèse est sur $X_1$ et non $|X_1|$
  • Code_Name
    Code_Name
    ? Je voulais savoir si cette hypothèse rajoutait quelque chose vu qu'avec l'indication de Poirot je crois qu'il suffit d'avoir $\mathbb E[|X_1|]<\infty$ pour avoir $\mathbb E[|S_n|]<\infty$

    Edit: En fait c'est bon.
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