2 étoiles filantes en même temps

Oula, oui, gerard0 a raison. Si la question est : tirons nbheuresx150 points au hasard (uniformément et indépendamment) dans [0,nbheuresx3600], quelle est la probabilité pour qu'il y en ait deux au moins qui soient à distance 1, alors il faut que je réfléchisse un peu :-D

Bon, alors, supposons que les instants où il y a une étoile filante sont modélisés par un processus de Poisson d'intensité $\lambda := \frac{150}{3600}$, c'est-à-dire, d'après ce que je crois avoir compris d'Internet, qu'on considère une famille $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de variables indépendantes, identiquement distribuées de loi exponentielle de paramètre $\lambda$, et on pose que l'instant de survenue de la $n$-ème étoile filante est $Y_n := \sum^n_{i=1} X_i$.

On se pose la question suivante : soit $t \in \mathbb{R}^*_+$ et $\epsilon>0$. Que vaut $\mathbb{P}[\min \{ Y_n - Y_{n-1} \ \vert \ n \in \mathbb{N}^* \text{ tel que } Y_n \leq t\} < \epsilon]$ ?

Je ne sais pas encore répondre à cette question. Par contre, on peut répondre à la question suivante : soit $N \in \mathbb{N}^*$ et $\epsilon>0$. Que vaut $\mathbb{P}[\min \{Y_n - Y_{n-1} \ \vert \ n \in \mathbb{N}^* \cap [0,N]\}< \epsilon]$ ?

En effet, $Y_n - Y_{n-1} = X_n$ qui est exponentielle de paramètre $\lambda$, et $\min_{n \in \{1,\cdots,N\}} X_n$ est une variable exponentielle de paramètre $N\lambda$ (car les $X_n$ sont indépendantes).

Ainsi, $\mathbb{P}[\min \{Y_n - Y_{n-1} \ \vert \ n \in \mathbb{N}^* \cap [0,N]\}< \epsilon] = 1 - e^{-N\lambda \epsilon}$. Quelqu'un sait comment continuer ?

Ben l'autre jour, lors de mon observation, le minimum d'écart entre deux étoiles filantes, c'était plutôt cinq secondes (le max, j'en parle pas, il fallait être patient).

"Si le regard est fortuit", eh bien...

Tu connais le paradoxe des anniversaires ? Quel est ton niveau de maths ?

@ajor : Ben, le paradoxe des anniversaires illustre le fait que la façon de poser le problème change beaucoup la réponse.

Dans une classe de trente élèves :

1) Il y a une probabilité assez haute (plus de $0,5$, je sais plus exactement) pour que deux élèves aient la même date d'anniversaire.
2) Si on choisit une personne parmi cette classe, la probabilité pour qu'une autre personne de la classe ait le même anniversaire est très faible;
3) Si on choisit un jour de l'année, la probabilité pour que deux personnes de la classe aient leur anniversaire ce jour-là est très faible.

Il n'y a rien de paradoxal, bien sûr, même si c'est surprenant quand on voit ça pour la première fois.

Bref, pour tes étoiles filantes, il y a plein de problèmes qui auront des réponses très différentes :

a) si on regarde toute la nuit (et si on suppose que notre champ de vision couvre tout le ciel) ;
b) si on regarde à un instant fixé, pendant trois secondes ;
c) si on choisit un instant au hasard, et qu'on attend la prochaine étoile filante, puis qu'on arrête de regarder dix secondes après ;
d), e), f), etc.

Il te faut bien réfléchir à la question qui t'intéresse.

Enfin, le mot "probabilité" est piégeux : les étoiles filantes nous arrivent de façon déterministe, pas aléatoire (enfin, c'est un débat) ; même si, dans la discussion précédente, la question est bien claire, la "probabilité que deux étoiles filantes tombent en même temps" n'est pas vraiment définie. Il faut choisir une modélisation mathématique, qui est volontairement fausse, mais, qu'on espère "pas trop fausse" et travailler dessus... Voilà, c'est compliqué.