Convergence de l'espérance conditionnelle

Code_Name · August 2021

Bonjour, soit $f$ une fonction de $[0,1]\to \mathbb R$ qui est $L^1$. Soit la tribu $\mathcal F_n=\sigma\left(\left[\frac{k}{2^n},\frac{k+1}{2^n} \right[_{k\in [0,2^n-1]\cap \mathbb N} \right)$.

Soit $f_n=\mathbb E[f\mid\mathcal F_n]$. On peut montrer que $f_n$ converge presque sûrement vers une fonction, mais pourquoi est-ce que cette fonction est $f$ ? Merci.

llorteLEG · August 2021

Pour $L^2$.
Une fonction $F_n$ mesurable est constante sur chacun de ces intervalles.
Sur un intervalle $I$ de longueur $1/2^n$ on cherche $c$ tel que $\int_I (f-c)^2$ soit le plus petit possible.;
Ensuite tu construis la fonction $g_n$ en concaténant toutes ces constantes. Si tu montres que $u_n = \int (g_n-f)^2$ tend vers $0$ c'est gagné puisque l'espérance conditionnelle vérifie $\int (f_n-f)^2 \leq \int (g_n-f)^2$ (je pense que les 2 quantités sont égales à mon avis

Code_Name · August 2021

Merci, je vais étudier la réponse dans quelques jours puis revenir car il y a d'autres questions par rapport à cet exercice mais je suis un peu occupé en attendant...

Convergence de l'espérance conditionnelle

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 18