Un simple exercice d'application

[Utilisateur supprimé]
[Utilisateur supprimé]
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour
Je révise les bases de l'intégration, et voilà l'exercice tout simple en question.

Montrer que si $f \in L^{1}(\mu)$ alors pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\delta>0$ tel que $\int_{E}|f|<\varepsilon$ dès que $\mu (E)< \delta$.

Cela me rappelle un résultat d'absolue continuité entre mesures, car ici $\nu(E)=\int _{E}|f| d\mu$ est une mesure sur $X$ qui satisfait $\mu(E)=0 \Rightarrow \nu(E)=0$ (par définition de l'intégrale sur les fonctions étagées, puis par limite monotone) et $\nu(X)< + \infty$ (par hypothèse). Mais voilà, j'ai du mal à manipuler les bons ensembles pour démontrer ce genre de propriétés.
Quels sont les réflexes, les bonnes habitudes à prendre pour aborder ces questions ?

Par exemple, pour démarrer, ici, je peux raisonner par l'absurde et obtenir une suite $E_{n}$ d'ensembles mesurables de mesure très petite, par exemple $\mu(E_{n})<\frac{1}{n}$, tels que $\int_{E_{n}}|f|>\varepsilon $. Là, je vais chercher une contradiction en essayant de construire un nouvel ensemble mesurable $B$ tel que $\int_{B}|f|>\varepsilon $ mais $\mu(B)=0$. Je sèche, j'imagine qu'il y aura $E_{\infty}=\bigcup_{n}E_{n}$ en jeu (pour garder l'intégrale strictement positive), mais il me faudrait réduire la taille pour espérer avec une mesure nulle. J'ai du mal à visualiser exactement ce que je cherche en fait.


PS. Sinon, en preuve directe, je pensais essayer d'utiliser la définition de $M=\int_{X}|f|$ comme un sup pour contrôler la taille des $\mu(E)$ qui contribuent à l'intégrale.

Réponses

  • Fulgrim
    Fulgrim
    Tu as déjà les bons réflexes ! Et tu commences bien ta preuve en raisonnant par l'absurde.
    Pour la finir, tu dois utiliser le Théorème de Convergence Dominée (ou au moins celui de Convergence Monotone). On a l'impression qu'on devrait pouvoir s'en sortir sans, mais en fait non. Je te laisse essayer de trouver qui joue le rôle de $f_n$, et de la fonction dominante $g$ dans ton problème.
  • MrJ
    MrJ
    Par contre, je pense qu’il faut construire la suite $(E_n)$ de sorte qu’elle soit décroissante et considérer l’intersection des $E_n$.
  • [Utilisateur supprimé]
    [Utilisateur supprimé]
    Il faut que je change un peu, mais je crois que j'ai une idée avec vos deux conseils.
    Déjà, je devrais sûrement choisir $\mu(E_{n})< \frac{1}{2^{n}}$ pour faire converger les séries. Ensuite, si j'ai bien compris Mr J. il vaut mieux considérer $A_{n}=\bigcup_{k\geq n}E_{k}$ pour avoir une suite décroissante telle que $\mu(A_{n})\rightarrow 0$ (majorée par le reste d'une série convergente $\sum \mu(E_{k})$, justement).
    Si je note $A$ la limite des $A_{n}$, alors c'est une partie mesurable de mesure $\mu(A)=0$ (car $\mu(A_{1})<+ \infty$ il me semble que c'est important ici !) et les fonctions $|f| \chi _{A_{n}}$ sont toutes mesurables, intégrables puisque $\int _{X} |f| \chi _{A_{n}}d\mu\leq \int _{X} |f| d\mu$ et dominées par $|f|$ mesurable. Or, cette suite de fonction converge simplement vers $ |f| \chi _{A}$ donc par le théorème de convergence dominée de Lebesgue $\int_{A_{n}}|f|\rightarrow \int_{A}|f|$, avec $\int_{A}|f|d\mu \geq \varepsilon $ par passage à la limite !
    J'aurais cru que $A$ risquerait d'être vide, mais le théorème de convergence dominée montre que non ...

    Si c'est bon, comment avoir ce genre d'idée ? Au brouillon je comprenais vaguement ce à quoi je devais aboutir, mais je n'ai pas pensé à utiliser une partie décroissante ...
  • Fulgrim
    Fulgrim
    Oui, c'est bon. Mais ce n'est pas grave si $A$ était vide. On serait aussi abouti à la contradiction $\epsilon \leq \int_{A_n} |f| \mapsto 0$, et on cherchait bien une contradiction.
    Pour ta dernière question, c'est toujours délicat à répondre. Je dirais qu'il faut penser à appliquer le TCD, et ensuite en voyant ses hypothèses, voir que ce qu'a dit MrJ est nécessaire, et qu'on peut s'en sortir en supposant que les $\mu(E_n) < 1/2^n$. Le raisonnement qu'on fait au brouillon est dans le sens inverse de ce qu'on écrit, et toi tu étais bien parti.
  • MrJ
    MrJ
    Sauf erreur de ma part, je pense que l’on peut construire les parties $E_n$ par récurrence, mais ce que tu as fait fonctionne très bien.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 8

Foysgai requinzeste +5 Invités