Irréductible alors d>1 (chaîne de Markov)
Bonjour
L’exercice est le suivant.
Soit $\{X_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ une chaîne de Markov à temps discret. Montrer que :
Soit $i\in S,\ d(i):=\rm{pgcd} \{n\mid p_{ii}^{(n)}>0\ \rm{et}\ n\geq 1\}$
$\{X_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ est irréductible alors : $\forall i;j\in S,\ \exists n\in\mathbb{N},\ p_{ij}^{(n)}>0.$
En prenant $j=i$ alors $\exists n\in\mathbb{N},\ p_{ii}^{(n)}>0.$
Pour ma preuve je suis coincé là.
Svp corrigez-moi si je me trompe. Merci d'avance.
L’exercice est le suivant.
Soit $\{X_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ une chaîne de Markov à temps discret. Montrer que :
si cette chaîne est irréductible alors $\forall i \in E,\ d(i)\geq 1.$
Supposons que $\{X_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ est irréductible.Soit $i\in S,\ d(i):=\rm{pgcd} \{n\mid p_{ii}^{(n)}>0\ \rm{et}\ n\geq 1\}$
$\{X_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ est irréductible alors : $\forall i;j\in S,\ \exists n\in\mathbb{N},\ p_{ij}^{(n)}>0.$
En prenant $j=i$ alors $\exists n\in\mathbb{N},\ p_{ii}^{(n)}>0.$
Pour ma preuve je suis coincé là.
Svp corrigez-moi si je me trompe. Merci d'avance.
Réponses
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Bonsoir,
Si d(i)=0, qu'est-ce que ça veut dire, en t'aidant de la définition de d ? -
Bonjour,
Si $d(i)=0$ alors $\forall n\geq1,\; p_{ii}^{(n)}=0$ ce qui est impossible car $\exists n\in\mathbb{N},\ p_{ii}^{(n)}>0.$ donc
$d(i)\in \mathbb{N}^{*}$ c'est à dire $\forall i\in S,\; d(i)\geq 1$
Svp corrigez-moi si je me trompe. Merci d'avance.
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Bonjour!
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