L'équation de Kolmogorov progressive

Merci beacoup


Q est une matrice (générateur infinitésimal) de taux

pour la question a)

on a

$\dfrac{dp(t)}{dt}=Qp(t)$ et $\dfrac{dp(t)}{dt}=\dfrac{p(t+\Delta t)-p(t)}{\Delta t}+\rm{O}(\Delta t)$

donc

$\begin{align*}
Qp(t)=\dfrac{dp(t)}{dt}&=\dfrac{p(t+\Delta t)-p(t)}{\Delta t}+\rm{O}(\Delta t) \\
Qp(t)\Delta t &=p(t+\Delta t)-p(t)+\rm{O}(\Delta t) \\
Qp(t)\Delta t +p(t)&=p(t+\Delta t)+\rm{O}(\Delta t) \\
[Q\Delta t +I]p(t)&=p(t+\Delta t)+\rm{O}(\Delta t) \\
p(t+\Delta t)&\approx [Q\Delta t +I]p(t) \\
\end{align*}$

Svp corrigez-moi si je me trompe. Merci d'avance

Pour la question b)

Merci beaucoup

Pour la a), je sais pas comment je dois avoir un $O(\Delta t^2)$.

Pour la b)
En utilisant la définition que vous avez données pour $Q$ à savoir $Q_{ii} = -\lambda(i)$ et $Q_{ij} = \lambda(i) A(i, j)$ où $A$ est la
matrice de transition et $\lambda$ les intensités de saut;

la somme de la ligne $i$ de $P$ est $\displaystyle \sum_{j} P_{ij} = P_{ii} + \sum_{j \neq i} P_{ij} = \Delta t Q_{ii} + 1 + \Delta t \sum_{j \neq i} Q_{ij}$

$\begin{align*}
\sum_{j} P_{ij} &= P_{ii} + \sum_{j \neq i} P_{ij} = \Delta t Q_{ii} + 1 + \Delta t \sum_{j \neq i} Q_{ij}\\
&= -\lambda(i) \Delta t +1+ \Delta t \sum_{j \neq i} \lambda(i) A(i, j) \\
&= -\lambda(i) \Delta t +1+ \lambda(i) \Delta t \sum_{j \neq i} A(i, j) \\
&= -\lambda(i) \Delta t +1+ \lambda(i) \Delta t [1- A(i, i)] \\
\end{align*}$



Je suis bloqué parce que je ne sais pas si A (i, i) est nul ou non pour avoir la somme de chaque ligne est 1 ($\sum_{j} P_{ij} =1$)

la seule définition que je dois utiliser pour résoudre cette question est (Photo 1 et 2)

De plus la définition d'une matrice stochastique selon le livre sur lequel je travaille est donnée comme suit

Une matrice est stochastique $\iff \begin{cases} \forall i,j\; p_{ij}\geq 0 \\ \forall j;\; \sum_{i=1}^{\infty}p_{ij}=1 \end{cases}$

Merci d'avance

Merci pour votre temps et votre aide