Espérance conditionnelle, sans f(x,y) ...

hockey
hockey
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour
Je suis actuellement étudiant à polytechnique Montréal en M1, où nous avons commencé les espérances conditionnelles.
Voici mon problème.

Je ne vois pas comment calculer les probabilités en rouge, car pour moi, nous avons affaire à des variables continues, P[Y=0]=0, donc ces probas n'existent tout simplement pas.
Sauf à considérer ceci P[A|Y]=E(1A|Y), puis prendre une valeur particulière de y pour calculer la proba conditionnelle en ce point.
Mais dans ce cas quid de la définition classique ?
Second problème, nous avons vu en cours que pour calculer des espérances conditionnelles, nous avions besoin de connaître les lois des couples soit, f(x,y) ou f(x|y), or ici nous ne disposons que d'une densité simple sans possibilité de déterminer l'une ou l'autre (les variables ne sont pas indépendantes).
Du coup je ne vois pas comment calculer le (d) et le (e).
Merci d'avance pour votre aide.126898

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Tu peux parfaitement calculer les probabilités conjointes P((X,Y) = (x,y)); d'autant que sin et cos sont des fonctions bijectives dans cette situation.

    Cordialement.
  • Lucas
    Lucas
    (Je ne comprends pas la réponse de Gérard.)

    @hockey :

    Effectivement, la (a) est une formulation un peu cavalière. Bon, disons que l'on peut interpréter ça comme
    $$
    \lim_{\delta \to 0} \mathbb{P}(\ |X-1|<\delta\ \big|\ |Y|<\delta\ ).
    $$
    En tout cas n'essaie pas trop de faire les choses rigoureusement, l'intuition donne le résultat assez vite.

    Pour les autres questions, tu peux par contre calculer les densités jointes de $(X,Y)$ et $(X,X+Y)$ et appliquer la formule. $X,Y$ ne sont certes pas indépendantes mais elles ont bien une densité jointe.
  • gerard0
    gerard0
    Lucas,

    c'est bizarre que tu ne comprennes pas ma réponse. La loi de $(X,Y)$ est facilement déterminable !

    Cordialement.
  • Lucas
    Lucas
    @Gérard :

    Certes mais quand tu dis à hockey de calculer P((X,Y) = (x,y)) c'est précisément ce qui (avec raison) pose problème pour lui : ça vaut toujours zéro.
  • hockey
    hockey
    Merci pour votre réponse
    Je suis d'accord, cependant, comment la connaissance de P(X,Y)=(x,y) permet de répondre à la question ?
    Dans la définition de la probabilité conditionnelle, nous devons diviser par P(Y=0) qui lui est nul.
  • hockey
    hockey
    Merci de votre réponse.

    En effet, je n'y avais pas pensé, cependant pour la densité du couple (X,Y) je ne vois pas comment m'y prendre.
    Autant le passage de la densité du couple aux densités marginales me semble clair, autant l'inverse ne m’apparaît pas comme allant de soi, surtout sans densité conditionnelle.
    Pensez-vous que le calcul de la fonction de répartition (via la définition classique), puis de ses dérivées partielles secondes soit une bonne piste de résolution ?
  • sevaus
    sevaus
    Bonjour,

    Personnellement, on m'a enseigné le conditionnement par un événement (de mesure nulle ou non) comme ceci.
    On sait que $\mathbb{E}[X | Y]$ est une fonction $Y$-mesurable ie $\mathbb{E}[X | Y] = f(Y)$.
    Dès lors, $\mathbb{E}[X | Y = 0]$ désigne le nombre $f(0)$.

    Cette définition est cohérente lorsque $[Y = 0]$ est de mesure non nulle.
  • hockey
    hockey
    Merci
    Je suis d'accord, mais cela s’étend-il à la définition classique d'une proba conditionnelle, et sinon, quelle définition autre que celle de Lucas pourriez-vous proposer ?
    De plus, tout le monde semble considérer comme acquis les calculs des densités conjointes ou conditionnelles, en ne disposant seulement que des densités marginales, et j'avoue que je ne vois pas pourquoi.
    Car pour calculer E(X | Y) il me semble que nous ayons besoin de l'un ou de l'autre (nonobstant les critères de mesurabilité commune ou d'indépendance).
  • gerard0
    gerard0
    Lucas a écrit:
    Certes mais quand tu dis à hockey de calculer P((X,Y) = (x,y)) c'est précisément ce qui (avec raison) pose problème pour lui : ça vaut toujours zéro.
    Faux ! ça vaut "presque toujours 0", mais $P((X,Y) = (0,1))=1$ et $P((X,Y) = (\frac 1 2,\frac{\sqrt 3}2)) = 1$.
    Après, tout dépend la façon dont est définie la proba conditionnelle dans le cours de Hockey. En particulier, si elle n'existe pas lorsque la proba de Y est nulle, on a un événement certain mais qui n'existe pas !

    Cordialement.
  • hockey
    hockey
    Voici une ébauche de preuve à laquelle j'ai pensé.126902
  • hockey
    hockey
    Je vois, vous préconisez donc l'approche intuitive (la compréhension de l’événement) à l'application bête et méchante de la formule, qui en l'espèce est inapplicable.
    Merci pour cette approche.
  • gerard0
    gerard0
    Je ne préconise rien, vu que je n'ai pas ton cours. À toi de voir si ce cours te permet de justifier l'intuition (on peut aussi penser que Y=0 n'arrivant jamais la question perd son sens)

    Cordialement
  • marsup
    marsup
    Moi non plus, je ne comprends pas ce que tu dis, gerard0.

    Il me semble aussi que les événements dont tu parles sont de probabilité nulle.
  • gerard0
    gerard0
    Oui,

    et c'est bien pour ça qu'on a défini l'espérance conditionnelle, qui permet de tenir compte de ce genre d'événement. Mais ici, si on me dit qu'il est sûr que Y=0, je suis sûr que X=1. Même si je n'ai pas d'outil élémentaire pour en parler.

    Cordialement.
  • lourrran
    lourrran
    Vu de ma fenêtre, quand X vaut 0, Y vaut forcément 1. donc la réponse à la question a) est 1.
    On peut être bloqué par le fait que X=0, c'est un événement de probabilité nulle.
    Mais dans ce cas, il n'y a que la question c) qui aurait un sens !

    On va reformuler la question : calculer $P(Y>1-\epsilon | X< \epsilon )$ , puis calculer la limite de ce résultat quand $\epsilon$ tend vers 0.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Lucas
    Lucas
    > De plus, tout le monde semble considérer comme acquis les calculs des densités
    > conjointes ou conditionnelles, en ne disposant seulement que des densités marginales,

    Non non on a bien la loi jointe de $(X,Y)$ puisque ce couple vaut $(\cos A, \sin A)$. En particulier si tu connais la "méthode de la fonction muette" tu dois pouvoir calculer $\mathbb{E}[f(X,Y)]$ pour toute $f$ mesurable bornée.

    > P((X,Y)=(0,1))=1

    ?!
  • Lucas
    Lucas
    (Au passage, l'interprétation de sevaus est bien sûr la plus correcte, et coïncide avec la limite en $\delta$ que j'ai énoncée plus haut. Mais j'imagine que l'auteur ou autrice du QCM n'attendait pas une telle démarche.)
  • hockey
    hockey
    Merci
    J'ai compris l'idée, ça marche, pour epsilon assez petit cela donne 1.
  • gerard0
    gerard0
    Lucas,

    Tu ne comprends pas que dans les conditions fixées, si le sinus est nul c'est que A=0 donc que le cosinus est égal à 1 ?

    Cordialement.
  • hockey
    hockey
    Lucas écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,2305208,2305548#msg-2305548
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

    Je connaissais cette méthode, mais uniquement pour trouver une densité par changement de variable, j'avais toujours une densité de départ.
    Si j'ai bien compris ici $\mathbb{E}[f(X,Y)]=\mathbb{E}[f(\cos(A),\sin(A))] =\mathbb{E}[H(A)],$ avec $H(A)=(f(\cos(A),\sin(A)))$ puis j'utilise le théorème de transfert avec la densité de $A$ ?
    Je vais essayer ce soir.

    [En typographie, on met toujours une espace après une virgule. ;-) AD]
  • Lucas
    Lucas
    @hockey : c'est ça, bon calcul!

    @Gérard, je comprends pas ce qui t'arrive s'il te plaît relis la discussion depuis le début tu fais un lapsus entre intersection et conditionnement quand tu écris "$P((X,Y)=(0,1))=1$ et $P((X,Y)=(1/2,\sqrt{3}/2))=1$". Là tu pollues le pauvre hockey.
  • Lucas
    Lucas
    Aaaaaah zut hockey non mais là c'est moi qui t'emmène sur une fausse piste. $(X,Y)$ n'a pas de densité jointe puisque c'est à valeurs dans $\{(x,y),x^2+y^2=1\}$. Donc ça ne mènera à rien la méthode de la fonction muette.

    Du coup je me sens obligé de te donner une autre piste. Pour la d) on peut s'en sortir autrement : on a que les deux couples $(X,X+Y)$ et $(Y,X+Y)$ ont même loi (car $A$ et $\pi/2-A$ ont même loi). Donc
    $$
    \mathbb{E}[X|X+Y]=\mathbb{E}[Y|X+Y].
    $$
    Avec ça tu peux s'en sortir.
  • Lucas
    Lucas
    Pour la e) c'est encore pire, essaie de partir de
    $$
    \mathbb{E}[X^2+Y^2|X+Y]=...
    $$
  • gerard0
    gerard0
    Lucas,

    je vois ce que tu veux dire. J'étais parti de travers.

    Cordialement.
  • hockey
    hockey
    Lucas écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,2305208,2305778#msg-2305778
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Je n'avais pas vu $A$ et $\pi/2-A$, en effet cela devient très simple $\ (X+Y)/2.$
  • hockey
    hockey
    Lucas écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,2305208,2305780#msg-2305780
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

    En fait les deux mènent à la conclusion, grâce à d) merci beaucoup pour votre aide.
  • hockey
    hockey
    Désolé je n'avais pas vu les recommandations typographique
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