Fonction mesurable et variable aléatoire

mathsensei
mathsensei
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour à tous, dans mon cours, j'ai le lemme suivant.

Soit $X$ un vecteur aléatoire de $\mathbb{R}^m$ et soit $g: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ une fonction mesurable. Ainsi $g(X)$ est une variable aléatoire réelle.

On me demande de prouver ce lemme pour s'entraîner et j'ai procédé de la manière suivante.
Définissons $Y := g \circ X$, ainsi d'après une propriété de composée de fonctions, on a $Y : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$. Il en résulte que $Y$ associe pour chaque sous-ensemble de $\Omega$ une valeur réelle.

J'ai l'impression que ceci est trop "logique" et que je n'ai pas fais les choses correctement ? Je vous demande donc votre aide. Merci à tous pour le temps que vous pourrez m'accorder.

Réponses

  • aléa
    aléa
    La petite difficulté n'est pas de montrer que c'est à valeurs réelles, mais que c'est une variable aléatoire (il faut donc en revoir la définition).
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Tu devrais revoir la définition de "variable aléatoire". Ce n'est pas seulement une application.
    $X$ est une variable aléatoire vectorielle, et tu dois démontrer que $Y$ est une variable aléatoire réelle. Tu as démontré qu'elle est réelle (c'était évident), reste à démontrer que c'est une variable aléatoire.

    Cordialement.

    [Battu de 2 mn par Aléa; mais content de voir qu'on dit la même chose !]
  • raoul.S
    raoul.S
    J'ajouterais que ce passage n'est pas correct :
    mathsensei a écrit:
    Il en résulte que $Y$ associe pour chaque sous-ensemble de $\Omega$ une valeur réelle.

    Il faudrait plutôt dire que $Y$ associe à chaque élément de $\Omega$ une valeur réelle.
  • mathsensei
    mathsensei
    D'accord merci je suis en train d'essayer de faire la preuve correctement !
  • mathsensei
    mathsensei
    Je suis de retour avec ce raisonnement, corrigez-moi si je me trompe mais je pense que c'est ça ?

    Soit $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ notre espace de probabilité. Sachant que $X : \Omega \rightarrow \mathbb{R}^m$ et $g: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$, on peut définir $Z := g \circ X$ qui associe un nombre réel $Z(w)$ à chaque $w \in \Omega$.
    $g$ est mesurable, ainsi :
    $$
    \forall y \in \mathbb{R}, \quad g^{-1}(]{-}\infty , y]) \in\, ]{-}\infty , x_1] \times \cdots \times ]{-}\infty, x_m]

    $$ $X$ est un vecteur aléatoire de $\mathbb{R}^m$, ainsi
    $$
    \forall x \in \mathbb{R}^m, \quad X^{-1}(]{-}\infty , x_1] \times \cdots \times ]{-}\infty, x_m]) \in \mathcal{F}.

    $$ Grâce aux propriétés des fonctions composées on a : $X^{-1} \circ g^{-1} = Z^{-1}$, ainsi :
    $$
    Z^{-1}(]{-}\infty , y]) \in \mathcal{F} .

    $$ Par conséquent, $Z$ est une fonction de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ telle que pour chaque $x \in \mathbb{R}$, l'image inverse de $]{-}\infty, x]$ est un élément de $\mathcal{F}$, i.e $Z$ est une variable aléatoire.
  • Poirot
    Poirot
    Non ce n'est pas ça, un borélien de $\mathbb R^m$ n'est pas forcément de la forme $]{-}\infty , x_1] \times \cdots \times ]{-}\infty, x_m]$. Au passage, l'écriture $g^{-1}(]{-}\infty , y]) \in\, ]{-}\infty , x_1] \times \cdots \times ]{-}\infty, x_m]$ est fausse, puisque l'élément de gauche est une partie de $\mathbb R^m$, qui ne peut appartenir à l'élément de droite, qui est également une partie de $\mathbb R^m$. Au mieux l'élément de gauche peut être inclus dans ce lui de droite, mais n'ayant pas défini les $x_i$, ça ne risque pas d'être vrai (et en général ça n'a aucune raison non plus d'être inclus dans un seul pavé de cette forme-là).

    Bref, il faut tout revoir. Il s'agit de justifier que si $A$ est un borélien de $\mathbb R$, alors $Z^{-1}(A) \in \mathcal F$, c'est beaucoup plus immédiat que ce que tu écris (en te trompant).
  • sevaus
    sevaus
    Bonjour

    Poirot : certains ouvrages (la plupart anglo-saxons) définissent, par classe monotone, la mesurabilité comme une condition sur les pavés rectangulaires infinis d'un côté $]{-}\infty, x_1] \times \dots \times ]{-}\infty, x_m]$.
  • Poirot
    Poirot
    @sevaus : Ce n'est pas le problème. Il n'y a aucune raison pour que $g^{-1}(]{-}\infty , y])$ soit de la forme $]{-}\infty , y]) \in\, ]{-}\infty , x_1] \times \cdots \times ]{-}\infty, x_m]$. Tu confonds avec le fait bien connu que, pour montrer que $X$ est mesurable si et seulement si $X^{-1}(]{-}\infty , y]) \in\, ]{-}\infty , x_1] \times \cdots \times ]{-}\infty, x_m]) \in \mathcal F$ pour tout $x_1, \dots, x_m \in \mathbb R$, ce qui est un résultat élémentaire de théorie de la mesure.
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