Petit exo sur la loi normale

On peut utiliser les fonctions caractéristiques.
Lemme. Si $N$ est de loi normale centrée réduite et $Y$ une variable aléatoire indépendante de $N$, alors la fonction caractéristique de $N\cdot Y$ est la fonction $t\mapsto \mathbb E\left[ \exp\big(-\frac{t^2}2Y^2\big)\right]$ (conséquence du théorème de Fubini).

On en déduit par indépendance de la collection $(U_kV_k)_{k=1}^n$ et le lemme que la fonction caractéristique de $\sum_{k=1}^nU_kV_k$, notée $\varphi$, est
$$
\varphi\colon t\mapsto \prod_{k=1}^n\mathbb E\left[ \exp\Big(-\frac{t^2}2V_k^2\Big)\right]=
\mathbb E\left[\exp\Big(-\frac{t^2}2\sum_{k=1}^nV_k^2\Big)\right].

$$ Comme $\sum_{k=1}^nV_k^2$ suit une loi du $\chi^2$ à $n$ degrés de liberté, on obtient
$$
\varphi(t)=\mathbb E\left[\exp\Big(-\frac{t^2}2X^2\Big)\right],

$$ et le lemme donne le résultat attendu.

Oui effectivement il manquait un carré.

Je n'y ai pas beaucoup réfléchi, mais j'imagine qu'il doit y avoir une interprétation géométrique de ce résultat.

Ah oui, c'est l'interprétation que je cherchais. Merci.

C'est une bonne initiative de mettre un peu d'animation dans la partie probas du forum.