Loi normale et jeux de pile ou face ou de dés

PeterMacGonagan
PeterMacGonagan
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour
Je m'excuse par avance pour mes éventuelles erreurs ou approximations 8-).

Dans un jeu de type pile ou face, si on énumère pour n tirages les différentes possibilités qu'il est possible d'obtenir, qu'on calcule la répartition en fréquence de chaque combinaison et qu'on représente leurs répartitions dans un histogramme, on observe qu'on tend vers une loi "normale".
J'ai mis un exemple pour 5 tirages.

J'ai compris qu'on pouvait calculer la fréquence via le coefficient binomial (attention ce qui suit est peut-être faux).
Dans mon exemple : 1 5 10 10 5 1 respectivement C(5,0), C(5,1), C(5,2), ..., C(5,5)
Si on divise ces résultats de "comptage" par le nombre de tirages, on obtient bien la même "répartition de fréquences" que par énumération.
Le nombre de possibilités est 0, 1, 2, ..., 6 (soit de 0 à n+1 tirages).

Donc : fi = C(n, i)/n avec i=0, ..., n + 1 tirages et n le nombre de tirages.
Je cherche à calculer cette loi normale : la moyenne étant 50% mais que vaut l'écart-type ?

Pourriez-vous également me dire, svp, comment faire la même chose avec un jeu de dés, svp ? Il y a alors une probabilité de 1/6, 5 tirages (comme dans le cas précédent), etc.

Je vous remercie par avance pour vos explications !127940

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Le théorème central limite dit que si $(X_n)_{n \in \mathbb N}$ est une suite de variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées (dans ton exemple, $X_n$ représenterait le résultat du $n$-ième lancer), ayant une moyenne $m$ et un écart-type $\sigma$, alors la variable aléatoire $$\frac{\sum_{i=1}^n X_i - nm}{\sqrt{n \sigma^2}}$$ converge en loi vers la loi normale centrée réduite (de moyenne $0$ et d'écart-type $1$), la convergence en loi voulant grossièrement dire que l'histogramme va se rapprocher de la courbe en cloche.

    Ici, on a $m=\frac{1}{2}$ et $\sigma = \frac{1}{2}$, donc l'histogramme de $\frac{\sum_{i=1}^n X_i - \frac{n}{2}}{\frac{\sqrt{n}}{2}}$ est proche de la courbe en cloche, autrement dit, l'histogramme de $\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}$ (la fréquence d'apparition d'un face disons) est proche de la courbe en cloche correspondant à la loi normale de moyenne $\frac{1}{2}$ et d'écart-type $\frac{1}{2 \sqrt n}$.

    Si tu veux faire pareil avec le résultat d'un lancer de dé, tu appliques le même théorème avec les bons paramètres. Dans ce cas tes $X_n$ suivront une loi uniforme sur $\{1, \dots, 6\}$. Si tu t'intéresses à la fréquence d'apparition d'un $6$ par exemple alors tu prendras plutôt $X_n$ suivant une loi de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{6}$.
  • Kolakoski
    Kolakoski
    Bonjour

    On note $X_k$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si on fait pile au $k$-ième tirage, et $0$ sinon. $X_k$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $1/2$, et les tirages seront supposés indépendants. On note $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Le théorème central-limite indique que la loi normale de paramètre $(n/2,n/4)$ est une bonne approximation de la loi de $S_n$, pour $n$ suffisamment grand...

    Bon courage !

    [Edit : Poirot a été à la fois plus rapide et plus précis que moi, vous pouvez ignorer mon message si vous avez déjà ce qu'il vous faut dans son message].
  • PeterMacGonagan
    PeterMacGonagan
    Merci à tous les 2 pour vos réponses.

    Je m'excuse mais je ne pense pas avoir saisi la formule de l'écart-type. Lorsque je l'applique j'ai des réponses qui semblent ne pas "coller".
    J'ai fait un petit calcul pour 10 tirages pour le jeu du pile ou face (1024 possibilités = 2^10).
    Et vous remarquerez que mu +/- 3 sigma donne des valeurs min et max qui semblent éloignées de ce qu'on attend!?
    J'ai appliqué la formule 1/(2 sqrt(n)) avec n = 10.

    Merci pour votre retour.127946
  • PeterMacGonagan
    PeterMacGonagan
    Pour être plus clair
    $n= 10$ (tirages)
    $p= 1/2$ (probabilité de tirer $X_i$)
    moyenne : $\mu = n p = 10 \times 1/2 = 5$
    variance : $\sigma^2 = n p (1-p) = 10 \times 1/2 \times 1/2 = 2.5$
    écart-type : $\sigma = \sqrt{variance} = 1.58113883 $
    Min : $\mu - 3 \sigma = 0.25658351$
    Max : $\mu + 3 \sigma = 9.74341649$

    Je ne comprends pas le lien avec la formule $\sigma = \frac{1}{2 \sqrt{n}}$.
    Je pense que c'est : $\sigma = \frac{\sqrt{n}}{2}$
  • Poirot
    Poirot
    Ton tableur n'arrondirait-il pas l'écart-type ? Par indépendance, la variance de $\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}$ est exactement $\frac{1}{4n}$ et donc l'écart-type est exactement $\frac{1}{2 \sqrt n}$, ce qui, pour $n=10$, donne $\approx 0,1588$, proche du $0,16$ de ton tableur.
  • Poirot
    Poirot
    Dans ton premier message tu parlais de fréquence, donc nos variables diffèrent d'un facteur multiplicatif $\frac{1}{n}$, ce qui se traduit par une différence d'un facteur $\frac{1}{\sqrt n}$ au niveau de l'écart-type, tout va bien.
  • PeterMacGonagan
    PeterMacGonagan
    Poirot
    Ah voilà ! Merci ça me turlupinait :D

    Et donc pour un lancé de dés avec 6 faces : mettons A, B,...,F.
    Si je m'intéresse à la face A, j'aurais une probabilité de $p=1/6$.
    Donc après $n$ tirages, j'aurai une moyenne de $n p = \mu =10 \times 1/6=1.66 $
    Et $\sigma=\sqrt{n p (1-p)}=1.179$
    Et la même chose pour les autres faces ?

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Poirot
    Poirot
    Tout à fait (sauf la dernière égalité qui ne peut en être une puisqu'il s'agit d'un nombre irrationnel).
  • gerard0
    gerard0
    La précédente aussi ! 1,66 est une valeur approchée, et on lui préfèrera 1,67 qui diminue l'erreur de moitié.

    Cordialement.
  • PeterMacGonagan
    PeterMacGonagan
    Quelles sont les bonnes réponses alors, svp?
    $\mu=10/6$
    Après 10 tirages, je tirerais en moyenne 1.67 fois la face A.
    Ça me semble logique...

    Pour mon $\sigma$, je ne suis pas sûr car il me semble beaucoup trop élevé et $\mu \pm 3 \sigma$ est hors range.
  • gerard0
    gerard0
    La moyenne est effectivement de $\frac{10}6=\frac 5 3$. Après 10 tirages, difficile de dire, mais après 10000 tirages, la proportion des faces A sera proche de $\frac 5 3\approx 1,667$. Sauf "malchance" (il n'est pas impossible que la face A ne soit jamais sortie, même si c'est extrêmement improbable).

    Cordialement.
  • PeterMacGonagan
    PeterMacGonagan
    Oui tout à fait. Merci pour la remarque. C'est vrai qu'on pourrait lancer le dé durant 30 ans et ne faire aucune face A.

    Et pour l'écart type svp ?
  • gerard0
    gerard0
    Il n'a pas d'interprétation directe.
  • gerard0
    gerard0
    Je vais être plus précis : L'écart type donne une idée indirecte de la dispersion des valeurs les plus probables autour de la moyenne. Pour n grand, il y a 95% de chances que la valeur (ici, le nombre de faces A) soit entre la moyenne moins deux écarts types et la moyenne plus deux écarts types. Et comme l'écart type augmente en fonction de n moins vite que la moyenne, la proportion des 95% des valeurs est dans un intervalle de plus en plus réduit quand n augmente.

    Cordialement.
  • PeterMacGonagan
    PeterMacGonagan
    Merci beaucoup pour vos explications :)
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