martingale
Bonjour,
<BR>y a t il un résultat général disant que P[A|F_n] est une martingale, où A est un événement quelconque, F_n la tribue engendrée par X_1 ,...,X_n et (X_n) une marche aléatoire ?
<BR>Si oui comment le montrer ? et si non que faut-il de plus ?
<BR>Merci de votre aide.
<BR>y a t il un résultat général disant que P[A|F_n] est une martingale, où A est un événement quelconque, F_n la tribue engendrée par X_1 ,...,X_n et (X_n) une marche aléatoire ?
<BR>Si oui comment le montrer ? et si non que faut-il de plus ?
<BR>Merci de votre aide.
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Réponses
oui, c'est un resultat qui peut se montrer : si tu appelles $M_n = \mathbb{P}(A|\mathcal{F}_n)=\mathbb{E}[\mathbf{1}_{A}|\mathcal{F}_n]$.
Tu remarques que de facon generale, tout processus de la forme $X_n=\mathbb{E}[Z|\mathcal{F}_n]$ ou Z est une variable $\mathcal{F}=\mathcal{F}_T$-mesurable est une martingale, ceci car
$$
\mathbb{E}[X_{n+1}|\mathcal{F}_n]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[Z|\mathcal{F}_{n+1}]|\mathcal{F}_n]=\mathbb{E}[Z|\mathcal{F}_n]=X_n
$$
[modulo des betises]
See ya'
vinh
See ya' !
et la c plus pratique.
Je ne suis pas sur de comprendre:
D'abord, pour rappel, on parle de martingale lorsque:
1) on a une filtration: ton $F_n$
2) pour cette filtration, $f(X_n)$ est une martingale si $E[f(X_{n+1})/\sigma (X_k), k\leq n] = f(X_n)$ p.s.
Donc, si tu veux que t'on expression soit une martingale il faut la reecrire:
$P(A/F_n) = E[1_{A_{n+1}}/F_n]$. Le A sans "n" n'a pas de sens.
Prenons par exemple $A_{n+1} = (X_{n+1} = X_3)$
A ce moment la, ce n'est pas une martingale car $E[1_{A_3}/\sigma (X_k), k\leq 2] = 1$ alors que $E[1_{A_4}/\sigma (X_k), k\leq 3] = P(X_4 = X_3/X_3) = P(X_4 = X_3)$ qui est generalement different de 1.
Mais si $A_{n+1} = (X_{n+1} = 3)$ Alors on a une martingale, mais c'est trivial puisque les $X_n$ sont independants idententiquement distribuees.
Des que tu as une suite iid, tu as une martingale car $E[f(X_{n+1})/sigma (X_k), k\leq n] = f(X_n)$ p.s. Donc c'est trivial.
All
je prend comme def de martingale :
{Zn, n>0} est une martingale si elle est integrable pour tout n et :
E[Z(n+1) |Z1,...,Zn]=Zn
ou alors E[Z(n+1) |Fn]=Zn où Fn est une filtration.
et ici Zn=P[A|Fn]=E[1A|Fn].
Je n'ai pas besoin que l'événement A dépende de n.
je confirme, $A$ est juste un evenement quelconque. Par definition, $\mathbf{1}_A$ est $\mathcal{F}$-mesurable puisque $A\in \mathcal{F}$.
Plus generalement, je repete, si $Z$ est une variable aleatoire $\mathcal{F}$-mesurable et de carre integrable, alors, le processus defini par $M_t = \mathbb{E}[Z|\mathcal{F}_t]$ est une $\mathcal{F}_t$-martingale.
Pour memoire, on a aussi qu'une martingale de carre integrable peut toujours s'ecrire comme une integrale stochastique d'un processus previsible (version continue de la transformee de martingale) et que l'on appelle ce theoreme le theoreme de representation des martingales.
Cela implique en particulier que comme $M_t = \mathbb{E}[Z|\mathcal{F}_t]$, $Z$ peut s'ecrire
$$
Z=\mathbb{E}[Z]+\int_{0}^{T}H_sdW_s
$$
on appelle ${(H_s)}_{s>0}$ strategie d'autofinancement, ou alors portfeuille de couverture produisant a la maturite $T$ la richesse cible $Z=(S_T -K)_{+}$.
Cela te rappelle des souvenirs All ;-) ?
See ya'
vinh
See ya' !
Merci pour ces precisions. Ah la bonne vieille formule des Messieurs Black and Scholes.
All