variable aléatoire réelle
Bonsoir, je me posais quelques questions (parmi tant d'autres)
Soit $X$ une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé ($\Omega$,P($\Omega$),P)
avec : $X(\Omega)=\{ x_1 , \cdots x_n \}$
On suppose que l'on a montré : $$E(X)=\sum_{i=1}^{n} P(X=x_i).x_i$$
a) Je me demandais comment montrer que: $$E(X^2)=\sum_{i=1}^{n} P(X=x_i).x_i^{2}$$
A la base j'aurais mis :
$$E(X^2)=\sum_{i=1}^{n} P(X^2=x_i^{2}).x_i^{2}$$
Pourquoi peut-on sans scrupule prendre la racine carré?
b) J'ai une autre question concernant la fonction de répartition $F_X$
de la variable aléatoire $X$
J'aimerai montrer que cette fonction est continue à droite en tout point.
J'écris pour $\forall t>x$ , $F_X(t)=F_X(x)+P(x \leq X \leq t)$
et j'aimerai montrer
$$ \lim_{t \rightarrow x \, ,t>x} P(x \leq X \leq t) =P(X=x)$$
pour obtenir la conclusion désirée. Est-ce plus ou moins un problème de continuité?
Merci par avance pour votre aide
Soit $X$ une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé ($\Omega$,P($\Omega$),P)
avec : $X(\Omega)=\{ x_1 , \cdots x_n \}$
On suppose que l'on a montré : $$E(X)=\sum_{i=1}^{n} P(X=x_i).x_i$$
a) Je me demandais comment montrer que: $$E(X^2)=\sum_{i=1}^{n} P(X=x_i).x_i^{2}$$
A la base j'aurais mis :
$$E(X^2)=\sum_{i=1}^{n} P(X^2=x_i^{2}).x_i^{2}$$
Pourquoi peut-on sans scrupule prendre la racine carré?
b) J'ai une autre question concernant la fonction de répartition $F_X$
de la variable aléatoire $X$
J'aimerai montrer que cette fonction est continue à droite en tout point.
J'écris pour $\forall t>x$ , $F_X(t)=F_X(x)+P(x \leq X \leq t)$
et j'aimerai montrer
$$ \lim_{t \rightarrow x \, ,t>x} P(x \leq X \leq t) =P(X=x)$$
pour obtenir la conclusion désirée. Est-ce plus ou moins un problème de continuité?
Merci par avance pour votre aide
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Réponses
attention toutefois : l'événement { X^2=xi^2} n'est pas en général égal à l'événement { X=xi} --> il y a égalité si xi>0
pour la continuité, tu utilises que si An est une suite monotone d'événements, tu as : P(lim An) = lim P(An) avec P proba
Le résultat n'est pas si évident ( c'est un peu comme montrer que E(X+Y)=E(X)+E(Y)).
Ce n'est pas une définition, mais au contraire une conséquence du "transport" de la loi de probabilité vers la probabilité image par une fonction $\varphi$ borélienne bornée.
En effet, si $X$ est une v.a. discrète, alors, pour toute fonction borélienne bornée (ou intégrable) $\varphi$ telle que $Z=\varphi (X)$, on a la loi de probabilité image donnée par :
$$
\mathbb{P}(Z=z)=\sum_{x}1\!\rm I_{\{ \varphi (x)=z\}}\mathbb{P}(X=x)
$$
Il s'agit là de la généralisation de la formule des lois marginales (qui n'est qu'un cas particulier de cette propriété si l'on considère $\varphi = \pi$ ou $\pi$ est la projection sur la composante du vecteur aléatoire dont on cherche la loi.
La formule avec les espérances en découle :
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}[|Z|] &=& \sum_{z}|z| \mathbb{P}(Z=z)\\
&=& \sum_{z}|z| \sum_{x}1\!\rm I_{\{ \varphi (x)=z\}}\mathbb{P}(X=x) \\
&=& \sum_{z}\sum_{x}|z| 1\!\rm I_{\{ \varphi (x)=z\}}\mathbb{P}(X=x) \\
&=& \sum_{x} |\varphi (x)|\mathbb{P}(X=x)
\end{eqnarray*}
L'interversion des signes somme est justifiée du fait que ces sommes comportent un nombre au plus dénombrable de termes et que tous ces termes sont positifs.
Si cette dernière quantité est finie, alors, la variable $\varphi (X)$ est par définition intégrable et l'espérance est donnée par le même calcul, mais en enlevant les valeurs absolues (dans le cas de variables aléatoires vectorielles, remplacer les valeurs absolues par la norme euclidienne) et l'interversion est cette fois-ci justifiée par le fait que les deux sommes sont absolument convergentes comme on vient de le montrer.
See ya'
vinh
L'événement X²=x² est composé des deux événements X=x et X=-x qui sont incompatibles. Donc le calcul est différent, mais le résultat est le même.
Par contre, l'explication de Vinh généralise fort bien ce cas élémentaire.
Cordialement
P.S : je sais ca fait un an mais mieux vaut tard que jamais!
Je me voyais dire que l'événement $X^{2}=x^{2}$ était égal à l'événement $(X=x)\cup (X=-x)$ et qu'ainsi $p(X^{2}=x^{2})=p(X=x)+p(X=-x)-p((X=x)\cap (X=-x))$, les deux derniers termes valent zéro si $-x\not\in X(\Omega)$