Continuité de la fonction de répartition
Bonsoir,
Pour démontrer la continuité à droite de la fonction de répartition, puisqu'elle est monotone (croissante) il suffit de prouver, pour tout réel $x_0$, que :
$F(x_0 + \frac{1}{n}) \longrightarrow F(x_0),$ qd $n \longrightarrow +\infty$.
Comment pourait-on justifier cela ?
Merci.
Pour démontrer la continuité à droite de la fonction de répartition, puisqu'elle est monotone (croissante) il suffit de prouver, pour tout réel $x_0$, que :
$F(x_0 + \frac{1}{n}) \longrightarrow F(x_0),$ qd $n \longrightarrow +\infty$.
Comment pourait-on justifier cela ?
Merci.
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Réponses
Normalement, il fallait montrer que pour toute suite $(x_n)_n$ de réels $> x_0$ et convergeant vers $x_0$, la suite $(F(x_n))_n$ converge vers $F(x_0)$ ... donc ma question : comment cela se fait-il qu'il suffit de prendre $x_n = x_0 + \frac{1}{n}$ ?
Je me dis qu'étant donnée qu'elle est monotone, donc l'ensemble de ses points de discontinuité est au plus dénombrable ... mais cela suffit ?
aprés tu utilise le fait suivant
la tribu de Borel est engendrée par les intervalles de $\mathbb{R}$
etc ...
ps: j'ai pas le temps de dévelloper
geoffrey
aprés tu utilise le fait suivant
la tribu de Borel est engendrée par les intervalles de $\mathbb{R}$
etc ...
ps: j'ai pas le temps de dévelloper
geoffrey
Merci geo pour ton aide ... en fait, j'ai la démonstration en utilisant la caractérisation de la continuité par les suites (en prenant une suite générale) ... mais ma question reste toujours posée à savoir : comment démontrer qu'il suffit de se restreindre à la suite $x_n = x_0 + \frac{1}{n}$ pour prouver la continuité de $F$? ... voilà.
Merci.
De toute suite convergeant vers $x_0$ de réels $> x_0$, on peut extraire une sous-suite décroissante, entrelacée avec la suite $x_0+\frac{1}{n} $.
Cordialement
$|f(x_0)-f(x_0+\eta)|=f(x_0+\eta)-f(x_0)\leq f(x_0+1/n)-f(x_0)$.
elle est continue à droite et possède des limites à gauche on a
$]-\infty,x]=\cap_{n\geq 1}(]\infty,x+\frac{1}{n}])$
donc $\mathbb{P}(]-\infty,x])=F(x)=limF(x+\frac{1}{n})$
geoffrey
Je vois pas ce que tu veux dire ...
> geo,
J'ai cette partie de la démo., et la question est : comment cela suffit-il à prouver la continuité à droite de $F$ ? ... car, si on utilise les suites, il fallait prendre une suite $(x_n)_n$ quelconque convergeant vers $x_0$ de réels $> x_0$ et montrer que $F(x_n) \longrightarrow F(x_0)$, lorsque $n \longrightarrow +\infty$.
Merci.
geoffrey
Pour reprendre mon indication, tu veux montrer que pour $\varepsilon >0$, il y a $\eta>0$ tel que $x_0+\eta>x>x_0\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon$.
Il suffit d'utiliser ce que j'ai déja marqué.
1) il montre que F(x) admet une une limite à droite Ld et une limite à gauche Lg au point a (propriété des fonctions monotones).
2) Pour h>0 donné, on note An=]a, a+h/n]. On a:
An=(union de j= n à +00) (Aj-A(j+1) ) et par suite:
P(An)=(somme de j=n à +00)P(Aj-A(j+1) )
P(Aj-A(j+1) ) est le terme général de la série convergente:
P(A1)=(somme de j=1 à +00)P(Aj-A(j+1) ).
Le reste de cette série convergente est justement P(An), qui tend donc vers 0.
Or: P(An)=F(a+h/n)-F(a).
Lorsque n tend vers +00, F(a+h/n) tend vers la limite à froite Ld trouvée au 1).. Il en résulte: Ld=F(a).
La preuve que tu veux est établie en appliquant la méthode que je t'ai proposée avec le complément de Corentin (C'est ce qu'il veut dire). La croissance de la fonction est la clef du problème.
Cordialement
$F(x_0+\frac{1}{n}) - F(x_0) = P(]x_0; x_0+\frac{1}{n})$ et le théorème de la continuité croissante appliquée sur la suite décroissante $A_n=\, ]x_0; x_0+\frac{1}{n}]$ nous donne : $$
P(A_n) \longrightarrow P\Big(\bigcap_{n\geq1}{A_n}\Big)=P(]x_0; x_0])=0.
$$ Merci à tout le monde !
Fx(y) (y ---<--->X) équivalent a Fx(x-1/n)(n
> +00)
Et le sujet avait été bien détaillé.
Fx(y) (y ---<--->X) équivalent a Fx(x-1/n)(n
> +00)
s'il vous plait c'est urgent !!!!
De manière générale, deux propriétés servent pour ces choses:
1) théorème de continuité séquentielle croissante ou décroissante.
2) pour des suites ou des fonctions monotones, le comportement à une borne d'un intervalle est dicté par le comportement d'une sous-suite tendant vers cette borne. (Pourquoi ?)
> +00) mais je n'arrive pas a trouver le a (alfa )
Dire que $\lim_{x\stackrel{<}{\to}y} f(x)=\ell$ c'est dire
\[\forall \varepsilon>0,\ \exists \alpha>0,\ \ \forall x\in\left]y-\alpha,y\right[,\quad |f(x)-\ell|\le\varepsilon.\]
Pour montrer ça, on fixe $\let\eps=\varepsilon\eps>0$ et on doit trouver un $\alpha$ tel que etc. C'est à ce moment que l'on utilise l'hypothèse :
\[\forall\eta>0,\ \exists n_0>0,\ \forall n\ge n_0,\quad \left|f\Bigl(y-\frac1n\Bigr)-\ell\right|\le\eta.\]En choisissant $\eta=\eps$, cela nous donne donc un $n_0$ tel que [...]. Qu'en fait-on ? Plus précisément, comment trouver un $\alpha$ et comment vérifier que ce $\alpha$ convient ?
la démonstration s'il vous plais les mathématiciens j'ai besoin d'ait dans cette preuve
et merci d'avance pour votre efforts
Sachant que $f$ est croissante, pour quels $x$ est-ce que tu peux dire quelque chose, sachant que tu veux des $x$ qui sont juste un peu plus petits que $y$ qui est fixé ?
(Tu pourras remarquer et justifier qu'il existe $n$ tel que $x\le y-\frac1n$.)