Continuité de la fonction de répartition
Bonsoir,
Pour démontrer la continuité à droite de la fonction de répartition, puisqu'elle est monotone (croissante) il suffit de prouver, pour tout réel $x_0$, que :
$F(x_0 + \frac{1}{n}) \longrightarrow F(x_0),$ qd $n \longrightarrow +\infty$.
Comment pourait-on justifier cela ?
Merci.
Pour démontrer la continuité à droite de la fonction de répartition, puisqu'elle est monotone (croissante) il suffit de prouver, pour tout réel $x_0$, que :
$F(x_0 + \frac{1}{n}) \longrightarrow F(x_0),$ qd $n \longrightarrow +\infty$.
Comment pourait-on justifier cela ?
Merci.
Réponses
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utilise des réunions d'intervalles
-
comment ?
Normalement, il fallait montrer que pour toute suite $(x_n)_n$ de réels $> x_0$ et convergeant vers $x_0$, la suite $(F(x_n))_n$ converge vers $F(x_0)$ ... donc ma question : comment cela se fait-il qu'il suffit de prendre $x_n = x_0 + \frac{1}{n}$ ?
Je me dis qu'étant donnée qu'elle est monotone, donc l'ensemble de ses points de discontinuité est au plus dénombrable ... mais cela suffit ? -
c'est une fonction de répartition donc une fonction construite à partir d'une mesure de probabilité et d'une variable aléatoire $f(x)=\mathbb{P}(X\geq x)$ où $X$ est une variable aléatoire
aprés tu utilise le fait suivant
la tribu de Borel est engendrée par les intervalles de $\mathbb{R}$
etc ...
ps: j'ai pas le temps de dévelloper
geoffrey -
c'est une fonction de répartition donc une fonction construite à partir d'une mesure de probabilité et d'une variable aléatoire $f(x)=\mathbb{P}(X\geq x)$ où $X$ est une variable aléatoire
aprés tu utilise le fait suivant
la tribu de Borel est engendrée par les intervalles de $\mathbb{R}$
etc ...
ps: j'ai pas le temps de dévelloper
geoffrey -
Bonsoir ...
Merci geo pour ton aide ... en fait, j'ai la démonstration en utilisant la caractérisation de la continuité par les suites (en prenant une suite générale) ... mais ma question reste toujours posée à savoir : comment démontrer qu'il suffit de se restreindre à la suite $x_n = x_0 + \frac{1}{n}$ pour prouver la continuité de $F$? ... voilà.
Merci. -
Une idée :
De toute suite convergeant vers $x_0$ de réels $> x_0$, on peut extraire une sous-suite décroissante, entrelacée avec la suite $x_0+\frac{1}{n} $.
Cordialement -
Je vois pas comment y arriver ...
-
Utilise que pour $1/n\geq \eta>0$, on a:
$|f(x_0)-f(x_0+\eta)|=f(x_0+\eta)-f(x_0)\leq f(x_0+1/n)-f(x_0)$. -
une fonction de répartition est toujours croissante
elle est continue à droite et possède des limites à gauche on a
$]-\infty,x]=\cap_{n\geq 1}(]\infty,x+\frac{1}{n}])$
donc $\mathbb{P}(]-\infty,x])=F(x)=limF(x+\frac{1}{n})$
geoffrey -
> correntin,
Je vois pas ce que tu veux dire ...
> geo,
J'ai cette partie de la démo., et la question est : comment cela suffit-il à prouver la continuité à droite de $F$ ? ... car, si on utilise les suites, il fallait prendre une suite $(x_n)_n$ quelconque convergeant vers $x_0$ de réels $> x_0$ et montrer que $F(x_n) \longrightarrow F(x_0)$, lorsque $n \longrightarrow +\infty$.
Merci. -
mais tu as ta suite qui est $x+\farc{1}{n}=x_{n}$ et $x_{n}$ est bien décroissante et converge vers $x$!!
geoffrey -
Non, la suite $x_n$ doit être quelconque (contre exemple, limite de l'indicatrice des rationnels en 0), et c'est pour ça que l'on doit utiliser la décroissance.
Pour reprendre mon indication, tu veux montrer que pour $\varepsilon >0$, il y a $\eta>0$ tel que $x_0+\eta>x>x_0\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\leq\varepsilon$.
Il suffit d'utiliser ce que j'ai déja marqué. -
Voici la preuve donnée par Lesieur (cours de maths de PC2):
1) il montre que F(x) admet une une limite à droite Ld et une limite à gauche Lg au point a (propriété des fonctions monotones).
2) Pour h>0 donné, on note An=]a, a+h/n]. On a:
An=(union de j= n à +00) (Aj-A(j+1) ) et par suite:
P(An)=(somme de j=n à +00)P(Aj-A(j+1) )
P(Aj-A(j+1) ) est le terme général de la série convergente:
P(A1)=(somme de j=1 à +00)P(Aj-A(j+1) ).
Le reste de cette série convergente est justement P(An), qui tend donc vers 0.
Or: P(An)=F(a+h/n)-F(a).
Lorsque n tend vers +00, F(a+h/n) tend vers la limite à froite Ld trouvée au 1).. Il en résulte: Ld=F(a). -
Salut ezize.
La preuve que tu veux est établie en appliquant la méthode que je t'ai proposée avec le complément de Corentin (C'est ce qu'il veut dire). La croissance de la fonction est la clef du problème.
Cordialement -
Donc, soit on utilise le 2) de Richard André-Jeannin, soit on écrit :
$F(x_0+\frac{1}{n}) - F(x_0) = P(]x_0; x_0+\frac{1}{n})$ et le théorème de la continuité croissante appliquée sur la suite décroissante $A_n=\, ]x_0; x_0+\frac{1}{n}]$ nous donne : $$
P(A_n) \longrightarrow P\Big(\bigcap_{n\geq1}{A_n}\Big)=P(]x_0; x_0])=0.
$$ Merci à tout le monde ! -
svp plus de détails
-
comment on démontre que
Fx(y) (y ---<--->X) équivalent a Fx(x-1/n)(n
> +00) -
Message incompréhensible.
Et le sujet avait été bien détaillé. -
Je risque une exégèse traduction.
C'est en revenant aux définitions de limites avec $\varepsilon$, $\alpha$ (ou $\delta$ ?) et $n_0$ et en utilisant le fait que $F$ est croissante.math@vie peut-être a écrit:Comment montre-t-on que l'existence de la limite $\displaystyle\lim_{y\stackrel{<}{\to} x}F(y)$ est équivalente à l'existence d'une limite $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}F\Bigl(x-\frac1n\Bigr)$ ? -
Voudrais-tu rappeler les définitions de $\displaystyle\lim_{y\stackrel{<}{\to} x}F(y),\ \displaystyle\lim_{y\stackrel{>}{\to} x}F(y)$ et de $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}F\Bigl(x-\frac1n\Bigr)$ ?
-
oui
-
comment on démontre que
Fx(y) (y ---<--->X) équivalent a Fx(x-1/n)(n
> +00)
s'il vous plait c'est urgent !!!! -
Mets-toi un peu à Latex, ou au moins écris en toutes lettres, car on peine à deviner ce que tu écris.
De manière générale, deux propriétés servent pour ces choses:
1) théorème de continuité séquentielle croissante ou décroissante.
2) pour des suites ou des fonctions monotones, le comportement à une borne d'un intervalle est dicté par le comportement d'une sous-suite tendant vers cette borne. (Pourquoi ?) -
comment je trouve a?
-
Quel a ?
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Math Coss a essayé de m'expliquer la solution de Fx(y) (y ---<--->X) équivalent a Fx(x-1/n)(n
> +00) mais je n'arrive pas a trouver le a (alfa ) -
Notons $f=F_X$ la fonction de répartition de la variable aléatoire $X$. Elle est croissante, c'est tout ce qui nous importe.
Dire que $\lim_{x\stackrel{<}{\to}y} f(x)=\ell$ c'est dire
\[\forall \varepsilon>0,\ \exists \alpha>0,\ \ \forall x\in\left]y-\alpha,y\right[,\quad |f(x)-\ell|\le\varepsilon.\]
Pour montrer ça, on fixe $\let\eps=\varepsilon\eps>0$ et on doit trouver un $\alpha$ tel que etc. C'est à ce moment que l'on utilise l'hypothèse :
\[\forall\eta>0,\ \exists n_0>0,\ \forall n\ge n_0,\quad \left|f\Bigl(y-\frac1n\Bigr)-\ell\right|\le\eta.\]En choisissant $\eta=\eps$, cela nous donne donc un $n_0$ tel que [...]. Qu'en fait-on ? Plus précisément, comment trouver un $\alpha$ et comment vérifier que ce $\alpha$ convient ? -
-
si quellequ'un a la démonstration en détaille me la donne s'il te plait !!!! c urgent
et merci d'avance pour votre efforts
-
On a : $\displaystyle\ell-\varepsilon\le f\Bigl(y-\frac1{n_0}\Bigr)\le\ell+\varepsilon$.
Sachant que $f$ est croissante, pour quels $x$ est-ce que tu peux dire quelque chose, sachant que tu veux des $x$ qui sont juste un peu plus petits que $y$ qui est fixé ? -
Bon, par exemple si on choisit $x$ tel que $y-\frac{1}{n_0}\le x<y$, que peux-tu dire ?
(Tu pourras remarquer et justifier qu'il existe $n$ tel que $x\le y-\frac1n$.)
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