Celui-là, il vous plaira !

jean · February 2007

Cette question a été posée il y a moins d'un mois: les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5

christophe c · February 2007

Non, la réponse précise est:

si une théorie (réaliste, il s'agit de ZFC+il existe un cardinal inaccessible*) un tout petit peu lpus forte que ZF est consistante alors la théorie (ZF plus tous les ensembles de réels sont Lebesgue mesurables) est aussi consistante

* je préciserai ultérieurement, je suis entre 2 cours là...

La négation de l'axiome du choix n'implique pas l'inexistence d'ensembles non mesurables. (Réfléchis : ça voudrait dire qu'un SEUL ensemble non mesurable implique l'axiome du choix, sinon, ce qui serait un évènement inoubliable...)

TheBridge · February 2007

jean

concernant le fil auquel tu fais référence
le papier que m'a transmis gb bien que très intéressant ne répondait que partiellement à la question en effet, il fallait admettre un axiome rendant faux l'axiome du choix pour arriver au resultat "toute partie de $\R$ est Lebesgue mesurable" ce qui n'est qu'une réponse partielle à la question.

Quant à la référence du livre de JL Krvine il est épuisé

donc je maintiens mon post.

Christophe,

Je suis tout à fait prêt à accepter le fait que axiome du choix n'infirme ni ne confirme l'existence de partie non mesurable de $\R$ mais je constate que toute construction de partie non mesurable de $\R$ utilise l'axiome du choix et donc se poser la question de savoir si "axiome du choix faux" implique "toute partie de $\R$ est Lebesgue mesurable" est légitime et intéressante.

Question subsidiaire suggérée par Christophe :
si c'est vrai que N-AC implique P(R) est Lebesgue Mesurable alors

si on suppose qu'il existe une partie de R non Lebesgue mesurable peut-on en déduire AC est vrai ou alors est-il démontrable que l'on ne peut en déduire ce point.

christophe c · February 2007

En fait, les méthodes (forcing+modele interieur dont on trouve effectivement des exemple dans le cours de krivine mentionné ci-dessus) pour montrer que ZF n'implique pas AC, permettent sans presque rien changer, d'avoir ZF+quelques partie non mesurables + nonAC

Mais pour t'expliquer en détails, le pourquoi du comment et surtout le comment tout court, il me faudrait plusieurs centaines de lignes...

De plus, autant que je sache (j'en suis presque sûr, mais ya longtps que je n'y ai pas pensé) la consistance de ZF+toutes les parties de $\R$ sont lebesgues mesurables entraine la consistance de (ZF+$\exists$ un cardinal inccessible). Donc {\bf tous les univers} bien fondé et pleins de hauteur inférieur au premier inaccessible (et il y en a moult) ne contiennet que des modeles de ZF dans lesqueles il ya des ensembles non mesurables.

Mais c'est une spécialité un peu précise et il y a un "back ground" que je n'ai pas envie de détailler ce soir (j'essaierai ultérieurement)

En résumé, le cas général à "hauteur" humaine est ZF est TRES loin de prouver AC, mais pourtant, il faut monter tres haut dans les ordinaux pour obtenir un ZF+tous ens mesurables.

christophe c · February 2007

Remarque: je vous ai rien prouvé de ce que j'ai dit, c'était juste de l'information au fait...

Aryanam*Vaijah · February 2007

Pour la fonction oracle, c'est un peu de là que "vient tout le mal". Mais on ne sait pas la calculer en général ?

TheBridge · February 2007

Ok christophe donc en clair

il existe une axiomatique (ZF+ N-AC+...) pour laquelle dans $\R$ il existe des parties non Lebesgue mesurables.

Je trouve ça intéressant et j'aimerais bien si tu le veux bien que tu consrtuises un tel systême d'axiome en nous exposant un ensemble non Lebesgue mesurable sur $_R$.

anatole · February 2007

Bonjour

En fait il existe un axiome plus faible que l'axiome du choix qui entraîne l'existence d'un ensemble non mesurable, c'est l'axiome de l'ultrafiltre l'intervalle [0,1] muni de la proba uniforme peut être mis en bijection avec P(N) muni de la mesure produit {0,1}^N par une bijection conservant la mesure (en gros on identiifie le réel à son développement binaire et on "rectifie" là ou l'écriture n'est pas univoque mais cela ne recouvre qu'un nombre dénombrale de cas). Dans ce cas tout ultrafiltre non principal de P(N) induira une partie non mesurable de [0,1].

J'espère avoir répondu à ta question.

Anatole

TheBridge · February 2007

Merci Anatole tu as été trés clair

christophe c · February 2007

je rappelle qu'il y a une énigme dans ce fil (qui a été étouffée la pauvre) par un débat sur l'axiome du choix et la mesure de Lebesgues

J'ai un peu de tps, donc... histoire:

(1) Un mathématicien, nommé Paul Cohen, a inventé une méthode en 1963, appelée "forcing" qui permet d'y voir clair parmi une liste tout à fait respectable d'énoncés, en ce qui concerne la question, pour chacun, de savoir s'ils sont ou non démontrables.

(2) Je vais vous la résumer {\bf mais j'insiste:} ne me faites pas prétendre que j'aurai prouvé quoique ce soit des propos qui vont suivre. Il s'agit d'un panorama ULTRArésumé de plus de 40 ans de recherches actives et extrêmement subtiles. Pour citer un des chefs du CNRS qui recevait un collègue qui postulait pour un poste dans le privé, et proposait de le conseiller {\it y a qu'en MQ (mécanique quantique) et en théorie des ensembles qu'on vous regarde comme si vous arriviez de la planête mars, tellement ces sujets paraissent inaccessibles à échelle humaine}. {\bf En fait, contrairement à cette citation,}
la difficulté d'un sujet ne peut pas être vraiment mesurée: si vous suivez une sorte de fil intuitif, la lourdeur ou la subtilité des embuches ne parviennent pas à vous écarter d'une promenade clairvoyante. C'est "l'affectif" qui vous rend plus ou moins sensibles à certaines notions.

C'est parti, donc, et je crée un fil exprès pour ça, avec un titre provocateur (on vit dans un monde étouffé par la publicité tapageuse):

{\bf \it le forcing expliqué aux matheux ordinaires}

(lol, en fait, tout ça parce que je n'arrête pas de remettre au lendemain l'écriture d'un texte enflammé de politique sur la présidentielle2007)

christophe c · March 2007

Pour "collectionner" des ensembles non mesurables, rappelle-toi juste que tout ensemble $A$ de mesure de Lebesgues intérieure positive a la propriété qu'il existe un $\epsilon >0$ tel que tout nombre $z$ dans $[0,\epsilon]$ est tel qu'il y a $x,y$ dans $A$ avec $x+z=y$

Par ailleurs, en ce qui concerne la fonction $\phi$ ci-dessus (fonction de Galvin), voici un exercice "canonique" qui lui est historiquement rattaché:

Soit $j$ une application de tout l'univers dans tout l'univers qui soit un "morphisme" pour toutes les propriétés exprimées avec $\in$. Prouvez que $j(\alpha)=\alpha$ pour tout ordinal

L'Axone du Choix · July 2015

Je n'avais pas vu que ce fil avait trois pages, ma question n'a donc plus lieu d'être.

fluorhydrique · July 2017

Merci Christophe C

tu reviendra?

ça n'est que cette semaine que le théorème de Frédérick William Galvin là m'a aidé à comprendre* ton sujet -je suis lent

Enoncé
On se place dans ZC
Etant donné E un ensemble quelconque, il existe une application $\phi:E^{\mathbb {N}} \rightarrow E$ vérifiant la propriété suivante:
$\forall u \in E^{\mathbb {N}},\exists P\in \mathbb {N} ,n>P,\phi(u^n) $ en notant $u^n$ la suite $(u_{n+1}... )$

*ceci dit avec moi je me méfie

Aldo · May 2019

Je sais que c'est un peu tard mais j'ai quand même une objection à ce problème de boîtes.

Je cite Christophe :

"Tu prends alors 20 rangées infinies de boites, indicées chacune par N, tu en ouvres 19 (par exemple, tu les ouvres toutes sauf la rangée 3). En les "regardant" tu connais le degré de chaque rangée sauf de la 3. "

Et bien non On sait seulement que la fonction Phi existe mais sans la connaître explicitement. On aura beau "regarder" chaque suite aussi longtemps qu'on veut, on n'en connaîtra pas le degré.

Bon , c'est juste au cas où il y aurait encore quelqu'un qui s'intéresse à ce problème...

Aldo

Georges Abitbol · April 2020

@Aldo : Ben... La question est : démontrer qu'il existe vingt stratégies telles que pour toute configuration, au moins dix-neuf d'entre elles marchent. La solution proposée est de la forme : "il existe une $\phi$ telle que blabla" et "pour toute $\phi$ telle que blabla, voici comment fabriquer vingt stratégies telles que pour toute configuration, au moins dix-neuf d'entre elles marchent". Qu'est-ce qui te choque ?