2 exercices de proba

Pour le second je ne peux pas dire que c'est l'exo le plus intéressant du monde mais bon.. en "bout d'arbre" je trouve 1/15 à chaque fois, c'est magique, et du coup je trouve en tout P(A2)=1/15 ; P(A3)=2/15 ; P(A4)=3/15 ; P(A5)=4/15 ; P(A6)=5/15 ; ce qui est chouette c'est que le total fait 1 !

Salut jlr,

1) Je trouve pour la loi conjointe de $(X_1,X_2)$ :
$\mathbb{P}(X_1=0,X_2=0)=1/6$ $\mathbb{P}(X_1=0,X_2=1)=1/3$
$\mathbb{P}(X_1=1,X_2=0)=1/3$ $\mathbb{P}(X_1=1,X_2=1)=1/6$
D'accord ?

2) Il convient de calculer les lois marginales de $X_1$ et $X_2$. Pour $X_1$ il s'agit de sommer les lignes du tableau ci-dessus, pour $X_2$ les colonnes (c'est la formule des probabilités totales). On trouve que $X_1$ et $X_2$ suivent chacune une loi de Bernoulli de paramètre $1/2$ et comme tu l'as dit elles ne sont pas indépendantes, sinon on aurait $1/4$ partout dans le tableau. C'est assez naturel.

3) Qu'appelles-tu symétrique ? On a bien $\mathbb{E}(X_1)=\mathbb{E}(X_2)$ donc si on avait comme tu le dis $X_1-\mathbb{E}(X_1)=X_2-\mathbb{E}(X_2)$ on aurait $X_1=X_2$ ; c'est une égalité entre variables aléatoires, si elle était vraie cela voudrait dire qu'on obtient toujours la même couleur aux deux tirages !

Ce qui est vrai c'est que $X_1-\mathbb{E}(X_1)$ et $X_2-\mathbb{E}(X_2)$ ont la même loi, mais elles ne sont pas égales, il faut faire très attention. Pour calculer la covariance avec la seconde formule on écrit, en notant $m_i=\mathbb{E}(X_i)$ et $x_i^1,x_i^2$ les valeurs possibles de $X_i$, une somme de quatre termes correspondant aux quatres valeurs possibles pour le couple $(X_1,X_2)$ :
$\mathrm{Cov}(X_1,X_2) = \mathbb{E} \left( (X_1-m_1)(X_2-m_2) \right) = \mathbb{P}(X_1=x_1^1,X_2=x_2^1) (x_1^1-m_1)(x_2^1-m_2) + \mathbb{P}(X_1=x_1^1,X_2=x_2^2) (x_1^1-m_1)(x_2^2-m_2) +
\mathbb{P}(X_1=x_1^2,X_2=x_2^1) (x_1^2-m_1)(x_2^1-m_2) +
\mathbb{P}(X_1=x_1^2,X_2=x_2^2) (x_1^2-m_1)(x_2^2-m_2)$.

Autre possibilité, qui revient au même, on note $Y_i=X_i-m_i$ ; de la question 1 on tire facilement la loi du couple $(Y_1,Y_2)$ :
$\mathbb{P}(X_1=-1/2,X_2=-1/2)=1/6$ $\mathbb{P}(X_1=-1/2,X_2=1/2)=1/3$
$\mathbb{P}(X_1=1/2,X_2=-1/2)=1/3$ $\mathbb{P}(X_1=1/2,X_2=1/2)=1/6$
On en déduit la loi de $Z=Y_1 Y_2$, à valeurs dans $-1/4,1/4$ :
$\mathbb{P}(Z=-1/4)=1/3+1/3=2/3$
$\mathbb{P}(Z=1/4)=1/6+1/6=1/3$
D'où $\mathrm{Cov}(X_1,X_2) = \mathbb{E}(Z) = 2/3 \times (-1/4) + 1/3 \times 1/4 = -1/12$, pas d'erreur.

Il est normal de trouver une valeur négative pour la covariance puisque $X_1$ et $X_2$ varient "en sens inverse" ; savoir que $X_i=1$ diminue les chances que $X_j=1$.

Content si ça peut t'aider, et bonnes vacances

PS : AD = Alain Debreil, un de nos modérateurs dévoués (et groupiste émérite à ses heures). Et chez moi aussi les indices BBcode apparaissent en exposant, avec Firefox 2.0.0.1.

OK, merci beaucoup Alex

jlr