Encore des boîtes
On a un ensemble $E$ sur lequel on ne suppose rien du tout!
On joue à un jeu du genre bataille navale:
L'un des joueurs s'appelle le "devineur" et l'autre le "cacheur". Le devineur commence par exiger que le cacheur remplisse un nombre $n_0$ de boites avec des éléments de $E$ (mais sans montrer au devineur le remplissage).
Ensuite, le devineur ouvre un certain nombre de boites, mais pas toutes sinon, il perd, et fait un pari du genre suivant:
il choisit une des boites encore fermée, il choisit une partie $E_1$ de $E$ et parie que l'objet de la boite cachée est dans $E_1$. Si c'est faux, il perd la partie, sinon, on continue la partie avec $E_1$ à la place de $E$. Il choisit $n_1$ et exige du cacheur qu'il remplisse $n_1$ (de manière cachée) boites avec des élément de $E_1$. Puis il ouvre un certain nombre de boites, pas toutes, sinon il perd, puis choisit une partie $E_2$ et fait désigne une boite et parie que l'élément de cette boite est dans $E_2$. Si c'est faux il perd, et sinon, on continue la partie avec $E_2$ à l aplace de $E_1$.
Si la partie continue ainsi indéfiniment, le cacheur gagne.
Si à un moment, le devineur "choisit" (il a ce droit) un ensemble {\bf fini} $E_n$ à l'étape $n$ de la partie, et que l'objet caché du moment est dedans alors la partie s'arrête et il gagne!
Prouver que quelquesoit $\epsilon >0$ (tout de suite les grands mots, mais j'ai remarqué que vous préférez) il y a une stratégie pour le devineur de gagner avec une probabilité d'au moins $1-\epsilon$ quoique fasse le cacheur...
On joue à un jeu du genre bataille navale:
L'un des joueurs s'appelle le "devineur" et l'autre le "cacheur". Le devineur commence par exiger que le cacheur remplisse un nombre $n_0$ de boites avec des éléments de $E$ (mais sans montrer au devineur le remplissage).
Ensuite, le devineur ouvre un certain nombre de boites, mais pas toutes sinon, il perd, et fait un pari du genre suivant:
il choisit une des boites encore fermée, il choisit une partie $E_1$ de $E$ et parie que l'objet de la boite cachée est dans $E_1$. Si c'est faux, il perd la partie, sinon, on continue la partie avec $E_1$ à la place de $E$. Il choisit $n_1$ et exige du cacheur qu'il remplisse $n_1$ (de manière cachée) boites avec des élément de $E_1$. Puis il ouvre un certain nombre de boites, pas toutes, sinon il perd, puis choisit une partie $E_2$ et fait désigne une boite et parie que l'élément de cette boite est dans $E_2$. Si c'est faux il perd, et sinon, on continue la partie avec $E_2$ à l aplace de $E_1$.
Si la partie continue ainsi indéfiniment, le cacheur gagne.
Si à un moment, le devineur "choisit" (il a ce droit) un ensemble {\bf fini} $E_n$ à l'étape $n$ de la partie, et que l'objet caché du moment est dedans alors la partie s'arrête et il gagne!
Prouver que quelquesoit $\epsilon >0$ (tout de suite les grands mots, mais j'ai remarqué que vous préférez) il y a une stratégie pour le devineur de gagner avec une probabilité d'au moins $1-\epsilon$ quoique fasse le cacheur...
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
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Salut Christophe.
Tu ne voudrais pas qu'on joue aux petits chevaux plutôt ? -
Je ne me rappelle plus les règlesAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Salut Christophe,
Je pense que tu nous refais le coup du fil "celui-là vous allez l'aimer..."
en remplaçant le 95% de chance ( soit une stratégie perdante sur 20 ), par
une stratégie perdante sur un nombre de stratégie supérieur à 1/epsilon.
PS:
Pour moi ce genre de sujet trés intéressant par ailleurs est plutôt à classer dans le sujet de "fondements" car ton espace probabilisé est vraiment trop "simple" pour figurer en "proba" sans compter que je crois me rappeler que ta démo est basée sur l'axiome du choix -
Le problème te le jeu sont très différentes, mais effectivement, utilisation de l'axiome du choix, et espace probabilisés très simples!Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Christophe tu pourrais peut-être trouver un cas pratique à ce genre de problème par exemple
tu serais le cacheur de la solution de ton problème et nous les devineurs de celle-ci
a ce moment là je pense qu'il existe une proba non nulle que l'on ne trouve jamais la solution -
Finalement, le mieux est peut-être que je donne une solution. L'axiome du choix permet de mettre un bon ordre sur n'importe quel ensemble
Donc autant considérer que $E$ est un ordinal $\kappa$, qui est un cardinal (aucun ordinal qui lui est inférieur ne se surjecte dessus)
Je vais essayer de parvenir à gagner avec une proba$\geq 0,5$ (largement, je suis assez empoté avec les calculs exacts).
Je demande donc au cacheur de me proposer $10$ boites fermés (contenant des ordinaux$<\kappa$.
J'en tire au sort (dans mes pensées) une au hasard que je n'ouvre pas, et j'ouvre les 9 autres. Le plus grand ordinal $\alpha$ trouvé dans ces 9 boites me sert à définir mon ensemble $E_1$.
Cet ensemble est, en fait, $\alpha$ et de plus je m'intéresse au plus petit $\beta$ tel qu'il existe une bijection $s$ de $\beta$ sur $\alpha$. Je déclare donc {\it l'élément de la boite fermée est dans $\alpha$, et je continue la partie en faisant "comme si" je jouais avec $\beta$. }
Je demande donc à mon adversaire (sauf si la chance sur 10 dévoir perdu s'est réalisée) de choisir 100 boites contenant des élements de $\beta$ (enfin dans ma tête, car je parle des $s(\gamma)$ qu'il va choisir, mais je pense et agis en termes des $\gamma<\beta$ qu'il va choisir. Puis je tire au sort une des 100 boites que je n'ouvre pas, etc, et j'atteins "sans avoir perdu" la 3e étape avec proba $0,89$, et ainsi de suite. A chaque étape, il y a un cardinal qui diminue. J'arrive donc au bout d'un temps fini à un cardinal fini auquel je ne peux pas appliquer ce raisonnement. Enfin... j'y arrive avec une proba$>0,88888...9$?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Dans le même genre, je vous en propose un autre qui est vraiment amusant:
Soit $E$ un ensemble quelconque.
On joue au jeu suivant:
Bil choisit une partie $E_1$ de $E$ avec l'obligation que $card(E_1)=card(E)$
Jo, choisit une partie $E_2 \subseteq E_1$ avec $card(E_2)=card(E_1)$
Etc, etc.
A la fin quand la suite a été construite, Bil gagne si l'intersection des $E_n$ est vide, sinon, Jo gagne.
{\bf Prouver} que Bil a une stratégie infaillible pour gagner quoique fasse Jo.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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