Simultané ou successif

La question serait plutôt d'essayer de donner un sens mathématique à ce que tu racontes...

Voilà un essai.

1) Je m'intéresse à un problème où on tire successivement et sans remise $a$ boules numérotées de $1$ à $n$ dans un urne qui en contient $n$. Avec quelques hypothèses naturelles supplémentaires, on peut être tenté de modéliser cela ainsi :
Univers : $\Omega_1$ l'ensemble des $a$-uplets d'éléments distincts des $\{1,...,n\}$.
Probabilité : $P_1$, uniforme sur $\Omega_1$.

2) Je m'intéresse à un problème où on tire simultanément $a$ boules numérotées de $1$ à $n$ dans un urne qui en contient $n$. Avec quelques hypothèses naturelles supplémentaires, on peut être tenté de modéliser cela ainsi :
Univers : $\Omega_2$ l'ensemble des sous-ensembles de cardinal $a$ de $\{1,...,n\}$.
Probabilité : $P_2$, uniforme sur $\Omega_2$.

On a une application naturelle $\phi$ de $\Omega_1$ vers $\Omega_2$ définie par $\phi(x_1,...,x_a)=\{x_1,...,x_a\}$. On a une correspondance naturelle entre les évènements réels du deuxième problème et ceux du premier ne dépendant pas de l'ordre. On peut constater (mais pas démontrer, c'est de la modélisation) que cette correspondance se traduit mathématiquement ainsi : si un évènement réel du problème $2$ se modélise par l'évènement $A$ de $\Omega_2$, alors l'évènement correpondant du problème $1$ se modélise par l'évènement $\phi^{-1}(A)$ de $\Omega_1$.

La question que tu poses devient alors (ouf) : a-t-on, pour tout $A\subset \Omega_2$, $P_1(\phi^{-1}(A))=P_2(A)$ ? En termes savants, $P_2$ est-elle l'image de $P_1$ par $\phi$ ? Voilà un énoncé mathématique. Cet énoncé se trouve être démontrable.

(le tout sauf bévue, je n'ai pas le temps de relire sérieusement).

Bonjour.

Attention PicPic : Les situations comparables sont les tirages successifs \underline{sans remise} (et où l'ordre de tirage n'intervient pas) et les tirages simultanés. Les tirages avec remise relèvent d'un autre type de calcul.

Je peux répondre à la question "Je me demande aussi pourquoi un tel resultat ne figure pas dans les cours ou les livres" : Tous les bons profs explicitent sur des exemples qu'on peut procéder de deux façons, dans la construction de l'univers des possibles. De là à en faire un théorème, il y a loin : Pourquoi sacraliser une situation sans grand intérêt ? (autre que celui que lui a apporté Pic pic). par contre, retraduit en termes d'applications d'un ensemble dans un autre, c'est un classique, connu sous le nom de "principe des bergers".

Cordialement

Salut Picpic.

Je crois avoir compris ton problème : Tu veux montrer que dans un tirage d'éléments différents, que l'on calcule avec ordre ou sans tenir compte de l'ordre, on obtient la même probabilité.
D'abord une première raison : Imagine que tu aies le résultat d'un tirage effectué par quelqu'un d'autre, sans l'avoir vu tirer les boules ; Comment peux-tu différencier les situations ? Donc pour toi, les résultats sont les mêmes.
Maintenant un calcul :
* Dans un tirage avec ordre (et SANS remise, tu redis à chaque fois "avec remise", cas où la même boule peut être tirée deux fois, ce qu'on ne peut pas faire simultanément), le résultat sera de la forme $\frac{a}{b}$ où $a$ est le nombre de tirages favorables et $b$ est le nombre de tirages possibles.
* Dans le cas d'un tirage simultané de $n$ boules, le résultat sera de la forme $\dfrac{\frac{a}{n!}}{\frac{b}{n!}}$, puisqu'il y a exactement $n!$ arrangements qui peuvent être fabriqués à partir d'une combinaison de $n$ boules.
Donc on obtient le même résultat.

Que de calculs pour une évidence heuristique. On les trouve souvent dans les cours de dénombrement de prépas, sous la forme du nombre d'applications, d'injections, etc.

Cordialement.

NB : Attention à ce que tu racontes : "{\it On tire successivement 3 boules successivement avec remise (donc avec ordre)}".
La signification de "avec remise" est que, après avoir tiré une boule, on la remet. Rien à voir avec une question d'ordre. Tu peux tirer successivement trois boules, les mettre dans une boite, et ne plus savoir laquelle tu as tirée en premier. D'ailleurs, si tu as tiré trois boules identiques de même couleur, tu as à faire très attention si tu veux savoir laquelle tu a prise en premier !

Mais pic pic ça t'a été confirmé, justifié et démontré plusieurs fois, je ne comprends pas ce que tu veux de plus. Tu peux si tu veux énoncer un théorème, lui donner ton nom, simplement il ne faut pas oublier que cette équivalence n'est valable que pour des évènements de l'expérience à tirages successifs {\it qui ne font pas intervenir l'ordre}.

Je réponds en partant par la fin : cette phrase signifie que des évènements comme "la premièr boule tirée est rouge", qui a un sens lors des tirages successifs sans remise, n'ont pas d'équivalents dans le cas du tirage simultané. Les seuls évènements "traductibles" dans l'univers du tirage simultané sont ceux qui ne font pas intervenir l'ordre, c'est-à-dire ceux qui sont invariants par permutation.

En ce qui concerne ta généralisation je suis sûr que ça marche encore mais ça risque d'être pénible à démontrer. De plus là encore il faut faire attention à l'ordre : l'évènement "on obtient plus de boules rouges dans le premier tirage de 3 que dans le second tirage de 3" n'aurait aucun sens si on tirait simultanément 9 boules !

Mais bon on doit pouvoir démontrer que si $a_k$ et $b_k$, $1 \leq k \leq n$, sont deux suites d'entiers, alors il y a équivalence (pour les évènements ne tenant pas compte de l'ordre) entre :

- le tirage de $a_1$ boules s.s.r. (successivement et sans remise) puis de $b_1$ boules sim. (simultanément), puis de $a_2$ boules s.s.r., puis de $b_2$ boules sim., puis de (...) puis de $a_n$ boules s.s.r. puis de $b_n$ boules sim. ;

- le tirage de $a_1+b_1+a_2+b_2+\cdots+a_n+b_n$ s.s.r. ;

- le tirage de $a_1+b_1+a_2+b_2+\cdots+a_n+b_n$ sim. ;

Bon courage !

Bonjour je viens de lire par hasard ce forum.

La question sous-jacente est de savoir si le temps intervient dans une situation idéale.
Quelle est la probabilité de tirer trois boules de même couleur à l'instant t1 ou à l'instant t plus une micro seconde. Si on admet que c'est la même alors c'est aussi vrai dans un siècle.
Quelle est la probabilité de tirer une deuxième boule de la même couleur après la première à l'instant t2 et à l'instant t2 plus une micro seconde. Si on admet que c'est la même alors cela est vrai aussi dans un siècle mais aussi vrai à l'instant T1
Idem pour T3.

Qu'en pensez-vous ?

merci de votre réponse

par hasard je suis venu sur ce forum.

et je ne suis pas d'accord avec vous lorsque vous affirmez que le temps l'intervient pas en mathématique. Il s'agit en fait d'un sous entendu ou d'un apriori.

une addition est une opération et qui dit opération dit temps. On remarquera que le resultat ne dépend pas moment de départ ni de la durée, il est donc considéré que la durée est nulle. Lorsque vous posez une addition cela prend du temps.
d'où l'importance de la transparence du zéro.

la question de ce forum était de savoir comment prouver que la probabilité du tirage de trois boules succéssivement ou simultanéement trois boules était identique. Ici était venu le temps: la variable temps.

Aussi plutôt que chercher à prouver l'identité du résultat mathématiquement, il me semblait plus simple de montrer que la simultanéité de tirage correspondait à un un tirage successif avec un intervalle de temps égal à zéro. les conditions de tirage étant les mêmes et

comme vous le dites les lois mathématiques sont indépendantes du temps. mais est ce vrai?

Désolé,

mais c'est un forum de maths, les aspects mathématiques du sujet ont été complétement traités il y a déjà 12 ans. C'était une bonne idée de penser que "successifs" évoque une idée de temps, et tout le monde y pensait il y a 12 ans sans que ça vienne dans la discussion, puisque la notion de temps n'est pas mathématique. Sinon, l'idée intuitive de faire tendre le temps vers 0 aboutit à faire un tirage simultané associé à un tirage aléatoire de l'ordre, donc introduire le temps ne règle pas la question mathématique.

Cordialement.

Ah j'oubliais ( pas vraiment )

QED

Puisque cela est vrai quelque soit l'exemple de tirage choisi le nombre de boules et le nombre de tirages et même s'il y a plus de tirages que de boules.
Si on admet qu'une loi mathématique est une fonction continue dans le temps (0 transparent) alors si l'origine est la même le résultat sera le même.
Au lieu de comparer les chemins, il est plus simple de comparer les origines. Une démonstration peut être plus ou moins simple en fonction du chemin utilisé.