Exo Temps d'arrêt
Bonjour à tous
voici un petit exercice sur les temps d'arret qui m'escagace, un peu d'aide serait la bienvenue
On se place dans un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ dans lequel on a un processus $X_t(\omega)$ pour lequel on défnit la filtration $\mathcal{F}^X_t$ qui rend ce processus adapté.
On se donne également un temps d'arrêt $T$, et on suppose qu'il existe $\omega, \omega' \in \Omega$ tel que $\forall t\in [0;T(\omega)]\cap [0;+\infty[$ on ait :
$$X_t(\omega)=X_t(\omega')$$
il faut montrer que $T(\omega)=T(\omega')$
voici un petit exercice sur les temps d'arret qui m'escagace, un peu d'aide serait la bienvenue
On se place dans un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ dans lequel on a un processus $X_t(\omega)$ pour lequel on défnit la filtration $\mathcal{F}^X_t$ qui rend ce processus adapté.
On se donne également un temps d'arrêt $T$, et on suppose qu'il existe $\omega, \omega' \in \Omega$ tel que $\forall t\in [0;T(\omega)]\cap [0;+\infty[$ on ait :
$$X_t(\omega)=X_t(\omega')$$
il faut montrer que $T(\omega)=T(\omega')$
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Réponses
J'espère que tu ne crois pas qu'on va faire tes devoirs à ta place !
Sinon ton résultat à l'air vrai, vu que w et w' sont "indistingables" pour la tribu F_(T(w)) mais c'est vrai aussi que c'est pas facile à première vue (si tu veux mon avis il doit y avoir une grosse astuce de la mort là-dessous).
Ce qui est presque évident après je bloque et je ne vois pas comment utiliser le fait que T soit un temps d'arrêt.
Sinon
Tout element de $A \in {\mathcal{F}^X }_t$ s'écrit sous la forme d'union d'ensemble de la forme $X^{-1}_{s_n}(B)$ où B est un borélien de $\R$ et $s_n$ une suite dense dans [0;t] car la filtration est adaptée à X. Donc si on prend $t=T(\omega)$ que peut-on dire de $\mathcal{F}^X }_{T(\omega)}$ et $\mathcal{F}^X }_{T(\omega')}$ ? J'ai l'impression que c'est deux objets doivent être les mêmes cela suffirait-il à démontrer $T(\omega)=T(\omega')$
Tout d'abord je justifie ma remarque précédente qui est valable sans supposer $T(\omega)<\infty$. Je note $\mathcal{H}$ l'ensemble des $A \in \mathcal{F}$ qui ne séparent pas $\omega$ et $\omega'$, autrement dit les $A$ tels que $\omega \in A \Leftrightarrow \omega' \in A$, autrement dit les $A$ tels que $\{ \omega , \omega' \}$ est contenu soit dans $A$ soit dans $A^c$. On montre aisément que $\mathcal{H}$ est une tribu. Si $t \leq T(\omega)$ et $t < \infty$, alors pour tout $0 \leq t_0 < t_1 < \cdots < t_n \leq t$ et tous boréliens $B_0,...,B_n$ alors l'évènement $A=\{ X_{t_0} \in B_0, ... , X_{t_n} \in B_n \}$ est dans $\mathcal{H}$ d'après l'hypothèse sur $\omega$ et $\omega'$. Donc la tribu engendrée par ces évènements $A$ aussi : $\mathcal{F}_t \subset \mathcal{H}$. En particulier si $Y$ est $\mathcal{F}_t$-mesurable alors $Y(\omega)=Y(\omega')$.
Maintenant si $T(\omega)<\infty$, tout ce qui précède est valable pour $t=T(\omega)$ :
- Je pose $S=T \wedge T(\omega)$. C'est un temps d'arrêt mais on a mieux, $S$ est $\mathcal{F}_{T(\omega)}$-mesurable. Donc $S(\omega)=S(\omega')$, ce qui revient à dire que $T(\omega)=T(\omega) \wedge T(\omega')$, soit encore $T(\omega) \leq T(\omega')$.
- D'un autre côté l'évènement $\{T \leq T(\omega) \}$ est dans $\mathcal{F}_{T(\omega)}$ puisque $T$ est un temps d'arrêt donc $\{T \leq T(\omega) \} \in \mathcal{H}$ ; comme $\omega \in \{T \leq T(\omega) \}$ on en déduit que $\omega' \in \{T \leq T(\omega) \}$ et donc $T(\omega') \leq T(\omega)$.
Moralité $T(\omega')=T(\omega)$.
Reste à traiter le cas $T(\omega)=\infty$, je pense que c'est du même acabit.
Bueno. Je crois que j'ai la réponse pour $T(\omega)<\infty$ donc si tu veux encore chercher ne lis pas ce qui suit mais si tu veux y chercher l'erreur fais-toi plaisir.
Tout d'abord je justifie ma remarque précédente qui est valable sans supposer $T(\omega)<\infty$. Je note $\mathcal{H}$ l'ensemble des $A \in \mathcal{F}$ qui ne séparent pas $\omega$ et $\omega'$, autrement dit les $A$ tels que $\omega \in A \Leftrightarrow \omega' \in A$, autrement dit les $A$ tels que $\{ \omega , \omega' \}$ est contenu soit dans $A$ soit dans $A^c$. On montre aisément que $\mathcal{H}$ est une tribu. Si $t \leq T(\omega)$ et $t < \infty$, alors pour tout $0 \leq t_0 < t_1 < \cdots < t_n \leq t$ et tous boréliens $B_0,...,B_n$ alors l'évènement $A=\{ X_{t_0} \in B_0, ... , X_{t_n} \in B_n \}$ est dans $\mathcal{H}$ d'après l'hypothèse sur $\omega$ et $\omega'$. Donc la tribu engendrée par ces évènements $A$ aussi : $\mathcal{F}_t \subset \mathcal{H}$. En particulier si $Y$ est $\mathcal{F}_t$-mesurable alors $Y(\omega)=Y(\omega')$.
Maintenant si $T(\omega)<\infty$, tout ce qui précède est valable pour $t=T(\omega)$ :
- Je pose $S=T \wedge T(\omega)$. C'est un temps d'arrêt mais on a mieux, $S$ est $\mathcal{F}_{T(\omega)}$-mesurable. Donc $S(\omega)=S(\omega')$, ce qui revient à dire que $T(\omega)=T(\omega) \wedge T(\omega')$, soit encore $T(\omega) \leq T(\omega')$.
- D'un autre côté l'évènement $\{T \leq T(\omega) \}$ est dans $\mathcal{F}_{T(\omega)}$ puisque $T$ est un temps d'arrêt donc $\{T \leq T(\omega) \} \in \mathcal{H}$ ; comme $\omega \in \{T \leq T(\omega) \}$ on en déduit que $\omega' \in \{T \leq T(\omega) \}$ et donc $T(\omega') \leq T(\omega)$.
Moralité $T(\omega')=T(\omega)$.
Reste à traiter le cas $T(\omega)=\infty$, je pense que c'est du même acabit.
Le cas $T(\omega)=\infty$ est en fait encore plus facile, puisqu'il n'y qu'une seule inégalité à montrer. Je te laisse chercher un peu avant de donner la soluce.
Le cas $\T(\omega)=+\infty$ est trivial non ?
Puisque si $T(\omega')$ est fini il existe t supérieur à $T(\omega')$ sur lequel $X_t(\omega)$ différent de $X_t(\omega')$
The bridge, est-ce un énoncé que tu as "inventé", ou que tu as pioché dans un livre? (Jaune?). Si c'est le second cas je suis gravement surpris dans le mauvais sens du terme.
Pour au moins deux raisons :
La seconde, c'est que vouloir raisonner sur 2 $\omegas$ différents c'est bizzare dans un univers où tout est définit presque sûrement (à moins bien sûr qu'il manque de l'information à ton problème).
La première, dans la mesure où la seule filtration dont nous disposons dans ton exercice est celle obtenue à partir de $X_t$, la question que tu poses devient à peu prêt la suivante :
A partir d'une fonction f définie sur [0, +inf[ tu as une application T(f) qui est construite avec le graphe de f en entier si T(f) = +inf, ou avec le graphe de f sur [0, T(f)] si T(f) < +inf. Tu poses alors la question : j'ai f'=f sur [0, T(f)] (si T(f) < +inf) ou [0, T(f)[ (sinon). Ai-je T(f)=T(f')? et la réponse est (évidemment?) oui.
Si je me trompe, je pense qu'il y a une histoire de mesurabilité cachée, et il faudrait un spécialiste. Mais je ne pense pas me tromper...
Egoroff à un moment tu as indexé des filtrations avec des omegas, c'est un coup à semer de la confuse...
Cordialement,
YomGui.
YomGui : Effectivement c'est confusant mais il faut juste se rappeler que $\omega$ et $\omega'$ sont fixés une fois pour toute au début de l'exo. Ca serait sans doute moins confusant de les appeler $a$ et $b$ ! Et c'est vrai que c'est choquant à première vue de voir comparer des $\omega$ mais après tout pourquoi pas, déjà rien ne dit que la mesure de proba ne charge pas les atomes, et puis de toute façon elle n'intervient aucunement dans l'exo, tu remarqueras. C'est "juste" un exo sur les tribus, si on veut être extrême c'est de la "bête" théorie des ensembles, et on peut oublier l'aspect probabiliste.
D'ailleurs c'est ce que fu fais dans ton heuristique avec $f$ et $f'$, qui effectivement rend le problème complètement évident, à condition de définir proprement "dépend du graphe etc." ; est-ce à dire que $T$ est une fonction de $f$ qui dépend du graphe de $f$ mais seulement jusqu'à $T(f)$ ? Il y a une boucle qui m'a l'air un peu vicieuse là-dedans, et je pense que c'est pour ça qu'on définit les temps d'arrêt d'une manière un peu plus subtile, à base de filtration, et plus généralement c'est pour ça qu'on modélise la notion d'information à travers une filtration.. bon assez de métaphysique de comptoir pour ce soir !
alors arrete de te formaliser pour si peu, vraiment cela n'en vaut pas la peine
8-)
Cet énoncé est tout à fait correct, il vient du Karatzas et Shreve et la correction d'egoroff est trés jolie. Je propose même de le mettre sur le serveur d'exo de ce site.
PS: T n'est pas construite à partir de f, T etant une la fonction(nelle) définie sur l'ensemble des trajectiores possibles de X. C'est peut-être pour ça que tu penses que le problême est trivial, sinon c'est à mon tour d'être surpris.
Note pour plus tard : je ne ferai plus de raisonnement omega par omega just'avant de partir du taf.
Bonne journée,
YomGui.
NB : On peut supposer que $\Omega=\{-1,1\}^N \times \{-1,1\}^N$ muni de la proba uniforme et raisonner $\omega$ par $\omega$
Par exemple si $\omega=(1,-1,1,...;-1,1,1,...)$ et $\omega'=(1,-1,1,...;-1,-1,1,...)$ alors $T(\omega)=3$ et on a bien $X_n(\omega)=X_n(\omega')$ pour $n \geq 3$ mais $T(\omega')>3$.
Ton idée qui consiste à dire que $\omega$ et $\omega'$ sont toujours associés dans les évènements de la filtration canonique de $X_t$ est excellente. Le raisonnement $(\omega$, $\omega')$ par $(\omega$, $\omega')$ est alors indispensable dans cet exercice car l'ensemble : $A_{\omega} = \left\{ \omega' : X_t(\omega') = X_t(\omega) \forall t\in [0;T(\omega)]\cap [0;+\infty[ \right\}$ n'est certainement mesurable que si on a des conditions de régularités sur les trajectoires de X (au moins càdlàg). Si ce raisonnement est correct (il en a l'air j'ai été très dogmatique hier j'ai réagit avant de réfléchir) on a besoins d'aucunes hypothèses supplémentaires.
Merci pour l'idée excellente c'est gentil. Je pense que se prendre la tête (souvent en vain) sur les exos du RY est efficace pour progresser. Je suis d'accord avec toi, je ne vois pas non plus de bonne raison pour que ce $A_{\omega}$ soit mesurable (mais comme tu le dis ça marche si $X$ est càdlàg ou càglàd) et pareil pour $B_{\omega,\omega'}=\{ \, t \in \R \, | \, X_s(\omega)=X_s(\omega') \, \forall s \leq t \, \}$.
Sinon mon exemple à base de marches aléatoires était juste pour illustrer le fait, assez évident, que le point important est qu'on a pris la filtration canonique associée $X$ et pas n'importe quelle filtration adaptée. Si on fait grossir la filtration en "ajoutant" un deuxième processus $Y$ indépendant de $X$ alors il y a trop de temps d'arrêt et le résultat n'est plus vrai. Ici $T$ est défini par $Y$, $X$ vérifie bien "par chance" $X_t(\omega) = X_t(\omega')$ pour $t \leq T(\omega)=3$ mais $T(\omega) \neq 3$ (en revanche on a bien $T(\omega') \geq T(\omega)$, peut-être que cette partie de la conclusion subsiste en général mais ça m'étonnerait).
Mais bon tout ça pour dire pas grand-chose.