Exo Temps d'arrêt

Bonjour à tous

voici un petit exercice sur les temps d'arret qui m'escagace, un peu d'aide serait la bienvenue

On se place dans un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ dans lequel on a un processus $X_t(\omega)$ pour lequel on défnit la filtration $\mathcal{F}^X_t$ qui rend ce processus adapté.

On se donne également un temps d'arrêt $T$, et on suppose qu'il existe $\omega, \omega' \in \Omega$ tel que $\forall t\in [0;T(\omega)]\cap [0;+\infty[$ on ait :
$$X_t(\omega)=X_t(\omega')$$

il faut montrer que $T(\omega)=T(\omega')$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par TheBridge.

Bon, on peut déjà voir que si $t \in \R$ est tel que $t \leq T(\omega)$ alors pour toute v.a. $Y$ qui est $\mathcal{F}_t$-mesurable, on a $Y(\omega)=Y(\omega')$. Ca doit encore être vrai pour les v.a. $\mathcal{F}_S$-mesurables pour tout temps d'arrêt $S \leq T(\omega)$.. je ne sais pas si ça aide.

Le résultat que j'ai par l'absurde c'est que $T(\omega')\leq T(\omega)$ pour $T(\omega)$ fini.

Ce qui est presque évident après je bloque et je ne vois pas comment utiliser le fait que T soit un temps d'arrêt.

Sinon
Tout element de $A \in {\mathcal{F}^X }_t$ s'écrit sous la forme d'union d'ensemble de la forme $X^{-1}_{s_n}(B)$ où B est un borélien de $\R$ et $s_n$ une suite dense dans [0;t] car la filtration est adaptée à X. Donc si on prend $t=T(\omega)$ que peut-on dire de $\mathcal{F}^X }_{T(\omega)}$ et $\mathcal{F}^X }_{T(\omega')}$ ? J'ai l'impression que c'est deux objets doivent être les mêmes cela suffirait-il à démontrer $T(\omega)=T(\omega')$

Bueno. Je crois que j'ai la réponse pour $T(\omega)<\infty$ donc si tu veux encore chercher ne lis pas ce qui suit mais si tu veux y chercher l'erreur fais-toi plaisir.


Tout d'abord je justifie ma remarque précédente qui est valable sans supposer $T(\omega)<\infty$. Je note $\mathcal{H}$ l'ensemble des $A \in \mathcal{F}$ qui ne séparent pas $\omega$ et $\omega'$, autrement dit les $A$ tels que $\omega \in A \Leftrightarrow \omega' \in A$, autrement dit les $A$ tels que $\{ \omega , \omega' \}$ est contenu soit dans $A$ soit dans $A^c$. On montre aisément que $\mathcal{H}$ est une tribu. Si $t \leq T(\omega)$ et $t < \infty$, alors pour tout $0 \leq t_0 < t_1 < \cdots < t_n \leq t$ et tous boréliens $B_0,...,B_n$ alors l'évènement $A=\{ X_{t_0} \in B_0, ... , X_{t_n} \in B_n \}$ est dans $\mathcal{H}$ d'après l'hypothèse sur $\omega$ et $\omega'$. Donc la tribu engendrée par ces évènements $A$ aussi : $\mathcal{F}_t \subset \mathcal{H}$. En particulier si $Y$ est $\mathcal{F}_t$-mesurable alors $Y(\omega)=Y(\omega')$.

Maintenant si $T(\omega)<\infty$, tout ce qui précède est valable pour $t=T(\omega)$ :
- Je pose $S=T \wedge T(\omega)$. C'est un temps d'arrêt mais on a mieux, $S$ est $\mathcal{F}_{T(\omega)}$-mesurable. Donc $S(\omega)=S(\omega')$, ce qui revient à dire que $T(\omega)=T(\omega) \wedge T(\omega')$, soit encore $T(\omega) \leq T(\omega')$.
- D'un autre côté l'évènement $\{T \leq T(\omega) \}$ est dans $\mathcal{F}_{T(\omega)}$ puisque $T$ est un temps d'arrêt donc $\{T \leq T(\omega) \} \in \mathcal{H}$ ; comme $\omega \in \{T \leq T(\omega) \}$ on en déduit que $\omega' \in \{T \leq T(\omega) \}$ et donc $T(\omega') \leq T(\omega)$.
Moralité $T(\omega')=T(\omega)$.

Reste à traiter le cas $T(\omega)=\infty$, je pense que c'est du même acabit.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par egoroff.

Bon heureusement je l'ai retrouvé :


Bueno. Je crois que j'ai la réponse pour $T(\omega)<\infty$ donc si tu veux encore chercher ne lis pas ce qui suit mais si tu veux y chercher l'erreur fais-toi plaisir.


Tout d'abord je justifie ma remarque précédente qui est valable sans supposer $T(\omega)<\infty$. Je note $\mathcal{H}$ l'ensemble des $A \in \mathcal{F}$ qui ne séparent pas $\omega$ et $\omega'$, autrement dit les $A$ tels que $\omega \in A \Leftrightarrow \omega' \in A$, autrement dit les $A$ tels que $\{ \omega , \omega' \}$ est contenu soit dans $A$ soit dans $A^c$. On montre aisément que $\mathcal{H}$ est une tribu. Si $t \leq T(\omega)$ et $t < \infty$, alors pour tout $0 \leq t_0 < t_1 < \cdots < t_n \leq t$ et tous boréliens $B_0,...,B_n$ alors l'évènement $A=\{ X_{t_0} \in B_0, ... , X_{t_n} \in B_n \}$ est dans $\mathcal{H}$ d'après l'hypothèse sur $\omega$ et $\omega'$. Donc la tribu engendrée par ces évènements $A$ aussi : $\mathcal{F}_t \subset \mathcal{H}$. En particulier si $Y$ est $\mathcal{F}_t$-mesurable alors $Y(\omega)=Y(\omega')$.

Maintenant si $T(\omega)<\infty$, tout ce qui précède est valable pour $t=T(\omega)$ :
- Je pose $S=T \wedge T(\omega)$. C'est un temps d'arrêt mais on a mieux, $S$ est $\mathcal{F}_{T(\omega)}$-mesurable. Donc $S(\omega)=S(\omega')$, ce qui revient à dire que $T(\omega)=T(\omega) \wedge T(\omega')$, soit encore $T(\omega) \leq T(\omega')$.
- D'un autre côté l'évènement $\{T \leq T(\omega) \}$ est dans $\mathcal{F}_{T(\omega)}$ puisque $T$ est un temps d'arrêt donc $\{T \leq T(\omega) \} \in \mathcal{H}$ ; comme $\omega \in \{T \leq T(\omega) \}$ on en déduit que $\omega' \in \{T \leq T(\omega) \}$ et donc $T(\omega') \leq T(\omega)$.
Moralité $T(\omega')=T(\omega)$.

Reste à traiter le cas $T(\omega)=\infty$, je pense que c'est du même acabit.

Oui c'est ça. En revanche je ne pense pas qu'on puisse déduire $t=s$ de $\mathcal{F}_t=\mathcal{F}_s$ sans autre hypothèse, parce que la filtration pourrait "stagner" pendant quelque temps si les trajectoires sont constantes sur un intervalle.

Le cas $T(\omega)=\infty$ est en fait encore plus facile, puisqu'il n'y qu'une seule inégalité à montrer. Je te laisse chercher un peu avant de donner la soluce.

Ok tres classe ta démo de $T(\omega') \leq T(\omega)$.


Le cas $\T(\omega)=+\infty$ est trivial non ?


Puisque si $T(\omega')$ est fini il existe t supérieur à $T(\omega')$ sur lequel $X_t(\omega)$ différent de $X_t(\omega')$



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par TheBridge.

Heu je ne suis pas sûr de comprendre ton Lathèque mais oui c'est kwasi-trivial lorsque $T(\omega)=\infty$, et même sans raisonnement par l'absurde : soit $t>0$, alors $t \leq T(\omega)$ donc $\mathcal{F}_t \subset \mathcal{H}$. Or comme $\{T > t \} \in \mathcal{F}_t$ ($T$ temps d'arrêt) on a $\{ T>t \} \in \mathcal{H}$ et $\omega \in \{ T>t \}$, donc $\omega' \in \{ T>t \}$ donc $T(\omega')>t$ et comme ceci est vrai pour tout $t>0$ on a $T(\omega')=\infty$ !

mon trivial est plus trivial que ton trivial car je n'ai pas construit $\mathcal{H}$ ;-)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par TheBridge.

TheBridge : Bah oui mais $\mathcal{H}$ c'est une manière de formaliser l'idée intuitive que, vu de $X$, et donc de $\mathcal{F}$, alors $\omega \simeq \omega'$ en un certain sens, au moins jusqu'à l'instant $T(\omega)$. Sinon, merci pour la classe, ça fait zizir, mais j'ai beaucoup moins la classe au niveau des exos du bouquin jaune

YomGui : Effectivement c'est confusant mais il faut juste se rappeler que $\omega$ et $\omega'$ sont fixés une fois pour toute au début de l'exo. Ca serait sans doute moins confusant de les appeler $a$ et $b$ ! Et c'est vrai que c'est choquant à première vue de voir comparer des $\omega$ mais après tout pourquoi pas, déjà rien ne dit que la mesure de proba ne charge pas les atomes, et puis de toute façon elle n'intervient aucunement dans l'exo, tu remarqueras. C'est "juste" un exo sur les tribus, si on veut être extrême c'est de la "bête" théorie des ensembles, et on peut oublier l'aspect probabiliste.

D'ailleurs c'est ce que fu fais dans ton heuristique avec $f$ et $f'$, qui effectivement rend le problème complètement évident, à condition de définir proprement "dépend du graphe etc." ; est-ce à dire que $T$ est une fonction de $f$ qui dépend du graphe de $f$ mais seulement jusqu'à $T(f)$ ? Il y a une boucle qui m'a l'air un peu vicieuse là-dedans, et je pense que c'est pour ça qu'on définit les temps d'arrêt d'une manière un peu plus subtile, à base de filtration, et plus généralement c'est pour ça qu'on modélise la notion d'information à travers une filtration.. bon assez de métaphysique de comptoir pour ce soir !

Ca c'est bien vrai, d'ailleurs ça ne marche sûrement pas avec une filtration plus grosse. Par exemple si $X$ et $Y$ sont des marches aléatoires symétriques indépendantes sur $\Z$ indexées sur $[0,N]$, $Z=(X,Y)$ et $\mathcal{F}_n=\sigma(Z_1,...,Z_n)$, et $T$ est le premier temps d'entrée par $Y$ dans $\{1\}$. Alors ça ne marche plus !

NB : On peut supposer que $\Omega=\{-1,1\}^N \times \{-1,1\}^N$ muni de la proba uniforme et raisonner $\omega$ par $\omega$

Par exemple si $\omega=(1,-1,1,...;-1,1,1,...)$ et $\omega'=(1,-1,1,...;-1,-1,1,...)$ alors $T(\omega)=3$ et on a bien $X_n(\omega)=X_n(\omega')$ pour $n \geq 3$ mais $T(\omega')>3$.

Egoroff, je ne suis pas sûr que ce que tu as écrit respecte les hypotheses de l'enoncé. Dans l'énoncé il est stipulé que $X_t(\omega) = X_t(\omega')$ sur $[0, T(\omega)] \cap [0;+\infty[$.
Ton idée qui consiste à dire que $\omega$ et $\omega'$ sont toujours associés dans les évènements de la filtration canonique de $X_t$ est excellente. Le raisonnement $(\omega$, $\omega')$ par $(\omega$, $\omega')$ est alors indispensable dans cet exercice car l'ensemble : $A_{\omega} = \left\{ \omega' : X_t(\omega') = X_t(\omega) \forall t\in [0;T(\omega)]\cap [0;+\infty[ \right\}$ n'est certainement mesurable que si on a des conditions de régularités sur les trajectoires de X (au moins càdlàg). Si ce raisonnement est correct (il en a l'air j'ai été très dogmatique hier j'ai réagit avant de réfléchir) on a besoins d'aucunes hypothèses supplémentaires.

Salut YomGui,

Merci pour l'idée excellente c'est gentil. Je pense que se prendre la tête (souvent en vain) sur les exos du RY est efficace pour progresser. Je suis d'accord avec toi, je ne vois pas non plus de bonne raison pour que ce $A_{\omega}$ soit mesurable (mais comme tu le dis ça marche si $X$ est càdlàg ou càglàd) et pareil pour $B_{\omega,\omega'}=\{ \, t \in \R \, | \, X_s(\omega)=X_s(\omega') \, \forall s \leq t \, \}$.

Sinon mon exemple à base de marches aléatoires était juste pour illustrer le fait, assez évident, que le point important est qu'on a pris la filtration canonique associée $X$ et pas n'importe quelle filtration adaptée. Si on fait grossir la filtration en "ajoutant" un deuxième processus $Y$ indépendant de $X$ alors il y a trop de temps d'arrêt et le résultat n'est plus vrai. Ici $T$ est défini par $Y$, $X$ vérifie bien "par chance" $X_t(\omega) = X_t(\omega')$ pour $t \leq T(\omega)=3$ mais $T(\omega) \neq 3$ (en revanche on a bien $T(\omega') \geq T(\omega)$, peut-être que cette partie de la conclusion subsiste en général mais ça m'étonnerait).

Mais bon tout ça pour dire pas grand-chose.