non boréliens?

La tribu B(R) des boréliens de R a le même cardinal que R. Ce cardinal est strictement inférieur au cardinal de P(R) (théorème de Cantor).

La tribu complétée B'(R) pour la mesure de Lebesgue (en gros on ajoute les ensembles contenus dans des boréliens négligeables) contient toutes les partie de l'ensemble de Cantor (parce qu'il est négligable) donc a le même cardinal que P(R). Donc il faut ici un autre argument.

Dans un des livres de Rudin, on trouve en exercice :

1) Si X,Y sont deux éléments de B'(R) de mesures >0, alors X+Y est d'intérieur non vide.

(indication : se ramener au cas où X et Y sont bornés, convoler les fonctions caractéristiques de X et de Y, et utiliser le fait que la convolée d'une fonction intégrable par une fonction bornée est continue)

2) Si G est un élément de B'(R) qui est un sous-groupe additif de R, alors G est de mesure nulle.

(utiliser 1)

3) Si G est un sous-groupe additif de R d'indice dénombrable (par exemple un Q-sev de codimension dénombrable, par exemple un Q-hyperplan), alors G n'est pas dans B'(R).

(R admet une partition formée de translatés de G, en nombre dénombrable. Par additivité de la mesure...)

Remarque : il y a ce Q-hyperplan de R, dont l'existence résulte de celle d'une Q-base de R donc de l'axiome du choix (via le lemme de Zorn), on n'y échappe pas