Processus indistinguables vs processus modifiés

Zantac · November 2008

Bonjour,

je suis en train de réfléchir sur les processus indistinguables et modifiés.

$X$ et $Y$ sont dits indistinguables si $P(\forall t \in T, X_t=Y_t)=1$.
Ils sont dits modifiés (en fait on dit que $X$ et $Y$ sont une modification l'un de l'autre, mais c'est long), si :
$\forall t \in T, P(X_t=Y_t)=1$

En appelant $B = \{ \omega \in \Omega / \forall t \in T, X_t(\omega)=Y_t(\omega)\}$, dire que $X$ et $Y$ sont indistinguables revient à dire $P(B)=1$.
En appelant $B_t = \{ \omega \in \Omega / X_t(\omega)=Y_t(\omega)\}$, dire que $X$ et $Y$ sont modifiés revient à dire $\forall t \in T, P(B_t)=1$.

egoroff · November 2008

Hello,

Jusqu'ici je suis OK. Rajoutons que $B=\bigcap_{t \in T} B_t$.

Zantac · November 2008

Ok, maintenant, je prends $\Omega = \R$, $Y_t = 0$ pour tout $t$.
Et je dis que $X_t(\omega) = 1$ si $t \neq \omega$, $0$ sinon.

Par conséquent, $B_t = \R-\{t\}$, et donc $B_t$ est de probabilité $1$, et ce pour tout $t$. Donc $X$ et $Y$ sont indistinguables.

Cependant, on voit que $B = \empty$, donc $X$ et $Y$ ne sont pas modifications l'un de l'autre.

Cela ne me choque pas outre mesure, puisque l'on m'apprend par ailleurs que l'équivalence "modifiés" et "indistinguables" n'est valable que si $T$ est dénombrable.

Ce qui me choque, c'est que si je prends $\Omega =\N$, cela ne marche plus du coup. Mais a-t-on le droit de prendre $\Omega = \N$ ? Je pense que non, mais pourquoi ? Ne peut-on pas y définir de mesure ?

egoroff · November 2008

Si bien sûr mais ce que tu as oublié de dire c'est que la mesure de proba sur $\R$ que tu as choisie (sans le dire, c'est vilain) est diffuse, c'est-à-dire qu'elle ne charge pas les singletons et du coup les $B_t$ sont de mesure pleine. Dans le cas de $\N$, on ne va pas très loin avec une mesure diffuse...

TheBridge · November 2008

impossible de construire une mesure de proba sur $\N$ qui charge les singletons car on n'a pas alors de sigma additivité

sinon des processus sympthatiques pour lesquels on a équivalence entre indistingables et modification sont les processus cadlag

sinon il existe une troisième forme d'équivalence de processus c'est X et une version de Y si pour tout n-uplet les lois jointes de $( X_{t_1}, ..., X_{t_n})$ est la même que $( Y_{t_1}, ..., Y_{t_n})$

Zantac · November 2008

Merci pour ces précisions. Les mesures sur $\N$, en dehors de celles qui chargent $\a_i$ un entier $i$, avec la somme des $a_i$ égale à $1$, il n'y en a pas si ?

egoroff · November 2008

Je ne suis pas sûr de comprendre la question ?

Zantac · November 2008

"qui chargent $a_i$ un entier $i$"

Zantac · November 2008

D'accord mon message tombe à l'eau du coup, je comptais par exemple sur des mesures qui chargeraient 1 à 1/2 et 2 à 1/2 et tout le reste à 0, mais ça ne marche pas donc.

Merci !