Processus indistinguables vs processus modifiés
Bonjour,
je suis en train de réfléchir sur les processus indistinguables et modifiés.
$X$ et $Y$ sont dits indistinguables si $P(\forall t \in T, X_t=Y_t)=1$.
Ils sont dits modifiés (en fait on dit que $X$ et $Y$ sont une modification l'un de l'autre, mais c'est long), si :
$\forall t \in T, P(X_t=Y_t)=1$
En appelant $B = \{ \omega \in \Omega / \forall t \in T, X_t(\omega)=Y_t(\omega)\}$, dire que $X$ et $Y$ sont indistinguables revient à dire $P(B)=1$.
En appelant $B_t = \{ \omega \in \Omega / X_t(\omega)=Y_t(\omega)\}$, dire que $X$ et $Y$ sont modifiés revient à dire $\forall t \in T, P(B_t)=1$.
je suis en train de réfléchir sur les processus indistinguables et modifiés.
$X$ et $Y$ sont dits indistinguables si $P(\forall t \in T, X_t=Y_t)=1$.
Ils sont dits modifiés (en fait on dit que $X$ et $Y$ sont une modification l'un de l'autre, mais c'est long), si :
$\forall t \in T, P(X_t=Y_t)=1$
En appelant $B = \{ \omega \in \Omega / \forall t \in T, X_t(\omega)=Y_t(\omega)\}$, dire que $X$ et $Y$ sont indistinguables revient à dire $P(B)=1$.
En appelant $B_t = \{ \omega \in \Omega / X_t(\omega)=Y_t(\omega)\}$, dire que $X$ et $Y$ sont modifiés revient à dire $\forall t \in T, P(B_t)=1$.
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Réponses
Jusqu'ici je suis OK. Rajoutons que $B=\bigcap_{t \in T} B_t$.
Et je dis que $X_t(\omega) = 1$ si $t \neq \omega$, $0$ sinon.
Par conséquent, $B_t = \R-\{t\}$, et donc $B_t$ est de probabilité $1$, et ce pour tout $t$. Donc $X$ et $Y$ sont indistinguables.
Cependant, on voit que $B = \empty$, donc $X$ et $Y$ ne sont pas modifications l'un de l'autre.
Cela ne me choque pas outre mesure, puisque l'on m'apprend par ailleurs que l'équivalence "modifiés" et "indistinguables" n'est valable que si $T$ est dénombrable.
Ce qui me choque, c'est que si je prends $\Omega =\N$, cela ne marche plus du coup. Mais a-t-on le droit de prendre $\Omega = \N$ ? Je pense que non, mais pourquoi ? Ne peut-on pas y définir de mesure ?
sinon des processus sympthatiques pour lesquels on a équivalence entre indistingables et modification sont les processus cadlag
sinon il existe une troisième forme d'équivalence de processus c'est X et une version de Y si pour tout n-uplet les lois jointes de $( X_{t_1}, ..., X_{t_n})$ est la même que $( Y_{t_1}, ..., Y_{t_n})$
Merci !
désolé de cette imprécision qui ma remarque sur ce point inapropriée