Espérance conditionnelle encore...
Bonjour,
j'ai une question précise, sur le polycopié suivant :
\lien{http://www.ceremade.dauphine.fr/\~{}bouchard/pdf/PolyMathFi.pdf} -page 17-
En fait je ne comprends pas l'affirmation "dire que S tilde est une Q-martingale
revient à dire que H chapeau S tilde est une P-martingale"
J'arrive toutefois à démontrer la remarque (où le produit s'arrête en $t-1$), mais pas le résultat... Ca ne doit pas être sorcier, mais je bloque là dessus depuis des heures...
Merci !
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j'ai une question précise, sur le polycopié suivant :
\lien{http://www.ceremade.dauphine.fr/\~{}bouchard/pdf/PolyMathFi.pdf} -page 17-
En fait je ne comprends pas l'affirmation "dire que S tilde est une Q-martingale
revient à dire que H chapeau S tilde est une P-martingale"
J'arrive toutefois à démontrer la remarque (où le produit s'arrête en $t-1$), mais pas le résultat... Ca ne doit pas être sorcier, mais je bloque là dessus depuis des heures...
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Réponses
Tu as $$\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}(\tilde{S}_{t+1}|\mathcal{F}_t) = \frac{\mathbb{E}_{\mathbb{P}}(H \tilde{S}_{t+1}|\mathcal{F}_t)}{\mathbb{E}_{\mathbb{P}}(H|\mathcal{F}_t)}$$ Le dénominateur vaut $\hat{H}_t$, le numérateur vaut $$\mathbb{E}_{\mathbb{P}}(\mathbb{E}_{\mathbb{P}}(H \tilde{S}_{t+1}|\mathcal{F}_{t+1})|\mathcal{F}_t) = \mathbb{E}_{\mathbb{P}}(\tilde{S}_{t+1} \mathbb{E}_{\mathbb{P}}(H|\mathcal{F}_{t+1}|\mathcal{F}_t)=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}(\hat{H}_{t+1} \tilde{S}_{t+1} | \mathcal{F}_t)$$ En posant $Z=\hat{H} \tilde{S}$ tu as donc $$\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}(\tilde{S}_{t+1}|\mathcal{F}_t) = \frac{\mathbb{E}_{\mathbb{P}}(Z_{t+1}|\mathcal{F}_t)}{\hat{H}_t}$$ et ceci est égal à $S_t$ si et seulement si $\mathbb{E}_{\mathbb{P}}(Z_{t+1}|\mathcal{F}_t)=\hat{H}_t S_t=Z_t$.
Précise le cadre, les hypothèses, et ce que tu ne comrpends pas et on pourra peut-être commencer à te filer un coup de main.
Merci egoroff !!