Théorème de Shaked

Zantac · December 2008

Bonjour,

En fait je vous écris par rapport au fichier suivant :
\lien{http://www.actu.ucl.ac.be/staff/delwarde/Actu2111_Chap3_PrimPure.pdf} Transaparents (page 45, théorème de Shaked)

Au vu du théorème, cela sous-entend déjà que $P(N=0) \geq exp(-\lambda)$.
Or, même, ça je n'arrive pas à le démontrer, j'aurais aimé votre aide sur ce point.
Je pars de $P(N=0) = \int_{\theta=0}^{\infty}{exp(-\lambda \theta)dF(\theta)}$, mais je ne vois pas comment poursuivre.

Qui plus est, j'ai essayé en Maple en prenant pour $\theta$ une densité normale de moyenne $1$ (la moyenne est imposée par l'énoncé), et je ne trouve pas le résultat (même pas pour $k=0$ donc...)
Merci !

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egoroff · December 2008

Salut,

Si j'ai bien compris, conditionnellement à $\Theta=\theta$, $N$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda \theta$ ; donc $\mathbb{P}(N=0)=\mathbb{E}(\mathbb{P}(N=0|\Theta))=\mathbb{E}(e^{-\lambda \Theta})$, OK, et ben là un coup de Jensen : $\mathbb{E}(e^{-\lambda \Theta}) \geq e^{-\lambda \mathbb{E}(\Theta)}=e^{-\lambda}$.