EDS, solution faible/solution forte
Soit l'EDS : $\quad dX_{t}=|X_{t}|^{1/2}dB_{t}+dt$
le processus $Y_{t}=B_{t}^{2}$ est solution de l'eds, c'est une solution faible !
On vérifie facilement que $Y_{t}$ est bien solution, mais pourquoi n'est-elle pas forte ?
Peut-on écrire :
$dB_{t}=\frac{1}{|Y_{t}|^{1/2}}dY_{t}+\frac{1}{|Y_{t}|^{1/2}}dt$
et dire que si $Y$ est une solution forte, $F^{Y}$ est contenue dans $F^{B}$ (par déf), qui est contenue d'après l'équation précédente, dans $F^{|B|}$ ce qui est absurde.
A-t-on le droit d'inverser cette équation de cette manière, sinon comment peut-on rendre rigoureux cette "preuve" ?
le processus $Y_{t}=B_{t}^{2}$ est solution de l'eds, c'est une solution faible !
On vérifie facilement que $Y_{t}$ est bien solution, mais pourquoi n'est-elle pas forte ?
Peut-on écrire :
$dB_{t}=\frac{1}{|Y_{t}|^{1/2}}dY_{t}+\frac{1}{|Y_{t}|^{1/2}}dt$
et dire que si $Y$ est une solution forte, $F^{Y}$ est contenue dans $F^{B}$ (par déf), qui est contenue d'après l'équation précédente, dans $F^{|B|}$ ce qui est absurde.
A-t-on le droit d'inverser cette équation de cette manière, sinon comment peut-on rendre rigoureux cette "preuve" ?
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Réponses
Alors, pour commencer, ce qui te permet d'inverser l'écriture, c'est l'associativité de l'intégrale stochastique : $K \cdot (H \cdot X) = (HK) \cdot X$.
Ensuite, il me semble que ton EDS est fausse : d'abord il manque un 2, et ensuite on n'a pas pour tout réel $x$, $|x^2|^{1/2}=x$. Il n'y aucun problème puisque $B_t^2$ est bien adapté à la filtration du brownien. En revanche tu ne peux pas récupérer $B_t$ à partir de $B_t^2$ comme tu le fais, car dans l'EDS tu dois remplacer $|X_t|^{1/2}$ par $\mathrm{sgn}(B_t) |X_t|^{1/2}$ et là il est clair que si tu connais le signe et le carré de $B_t$ tu peux retrouver $B_t$...
L'exemple canonique d'EDS n'admettant pas de solution forte est plutôt $dX_t=\mathrm{sgn}(X_t)dB_t$, et là tu peux faire marcher ton raisonnement. En revanche il y a bien une solution faible.
Il manque effectivement un 2, pour le reste, je ne comprends pas très bien,
la première question de l'exercice est montrer que $B_{t}^{2}$ est solution faible, la deuxième est montrer que $(B_{t}-I_{t})^{2}$ est solution forte, où $I_{t}=\inf_{[0,t]}(B_{s})$
Si $B_{t}^{2}$ est solution forte, pourquoi l'énoncé précise-t-il de montrer que c'est une solution faible ?
En récupérant $B$ par $|B|$, je cherche à montrer (en adaptant la preuve que la solution faible de $dX_{t}=sgn(X_{t})dW_{t}$ n'est pas forte) que si c'est une solution forte, alors $B$ est $F^{|B|}$ mesurable, ce qui est faux.
Intuitivement la différence est la suivante
une solution forte est une solution $\omega$ par $\omega$ c'est-à-dire que tu supposes donné au départ un brownien (avec filtration etc...)
une solution faible est une solution pour laquelle on a égalité en loi des solutions
Prenons un exemple débile tu te donnes un brownien B dans une base stchastique vérifiant les conditions usuellles etc...
alors l'eds :
$dB_t=dB_t$ avec $B_0=0 $
admet $B_t$ comme unique (modulo indistingabilité) solution.
Maintenant si tu te donnes $dB_t=dB_t$ avec $B_0=0 $ ex-ante
alors $B_t$ et $-B_t$ vérifient faiblement la même eds et on a égalité pour tout t des lois de ces deux processus.
C'est assez subtile.
Dans les faits quand on s'intéresse aux propriété chemins par chemin on a besoin de solutions fortes (par exemple en finance pour des produits path-dependant) mais si on ne s'intéresse qu'à par exemple des moments de la solution alors on a besoin que d'une solution faible ( les moments étant déterminés par les distributions).
(on a pour solution $(B_{t}-I_{t})^{2}$, où $I$ est l'inf sur $[0,t]$ du MB)
Dire que $B_{t}^{2}$ est solution faible, c'est pas bizarre vu ta définition (qui est celle de mon cours) ?
Et $B_{t}^{2}$ est-elle une solution forte issue de 0.
Bref, l'exemple de l'eds avec le signe montre bien la différence entre solution faible et forte, mais dans cette eds, je ne vois pas bien.
L'eds est la suivante : $$dX_{t}=2|X_{t}|^{1/2}dB_{t}+dt
$$ La première question (examen de Bertoin de 1998 pour tout dire)
est montrer que $B_{t}^2$ est solution FAIBLE, piège ou pas piège ?
De manière générale le seul type de question faisant appel à un théorème est de montrer le caractère fort d'une solution dont tu as l'énoncé du théorème dans le cours de Jacod, et dont Marc Yor donne une généralisation au cas volatilité holderienne d'ordre supérieur à $\frac{1}{2}$ dans le cours de temps locaux...
Pour le coup ta deuxième question est plus dure car elle doit faire appel à la déf d'une solution forte...
Mais pour la solution forte je n'ai pas bien compris, est-ce que vous pouvez m'expliquer ce point et merci