suite de variables aléatoires
Bonjour à tous,
Voila au cours d'un exo de proba, je me suis posé les questions suivantes, auquelle je n'arrive pas à trouver de réponses...si quelqu'un pouvait m'y aider!
1) On prend une suite (X_n) de variables aléatoires réelles iid et centrées, et on note S_n=X_1 +...+X_n.
Peut on dire quelquechose, avec ces seules hypothèses, de la limsup(S_n) et de la liminf(S_n) quand n tend vers l'infini, au sens presque sur?
2) Toujours une suite (X_n) mais plus forcément iid ni centrée.
Est ce que si l'espérance de X_n tend vers l'infini quand n tend vers l'infini, on a aussi X_n qui tend vers l'infini ps?
Merci d'avance!
Voila au cours d'un exo de proba, je me suis posé les questions suivantes, auquelle je n'arrive pas à trouver de réponses...si quelqu'un pouvait m'y aider!
1) On prend une suite (X_n) de variables aléatoires réelles iid et centrées, et on note S_n=X_1 +...+X_n.
Peut on dire quelquechose, avec ces seules hypothèses, de la limsup(S_n) et de la liminf(S_n) quand n tend vers l'infini, au sens presque sur?
2) Toujours une suite (X_n) mais plus forcément iid ni centrée.
Est ce que si l'espérance de X_n tend vers l'infini quand n tend vers l'infini, on a aussi X_n qui tend vers l'infini ps?
Merci d'avance!
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Réponses
Par contre, $X_n$ ne tend pas vers l'infini, valant toujours $0$ avec probabilité 1/2.
1) Pas d'idée là.
En fait pour le 1 la loi des grands nombres me dit juste que S_n/n tend vers 0 ps mais je crois qu'on peut dire quelque chose sur la limsup et liminf de S_n...
Par exemple en simulant des gaussiennes centrées sur pc, j'ai l'impression que Sn prend des valeurs aussi grandes que l'on veut a l'infini (et aussi petites que l'on veut), c'est peut étre totalement faux...?
Alekk j'ai pas compris pourquoi tu me propose d'essayer la loi de Cauchy, en fait c'est pour des variables centrées ma question(sinon la loi des grands nombres nous donne le comportement de S_n a l'infini en effet...)
Je vais donc comme tu ma l'as conseillé regarder ce qui se passe pour cette suite S_n
On peut préciser avec la loi du log itéré : si les $X_n$ sont centrées de variance finie non nulle $\sigma^2$, alors en notant $\overline{X}_n=S_n/n$, on a presque sûrement : $$\lim \sup \sqrt{\frac{n}{\ln \ln n}} \overline{X}_n=\sigma \quad \mathrm{et} \quad \lim \inf \sqrt{\frac{n}{\ln \ln n}} \overline{X}_n=-\sigma$$ En partisulier $\lim \sup S_n=-\lim \inf S_n=+\infty$.
Dernière petite question...
Egoroff tu as donc répondu à ma question dans le cas ou la variance est non nulle...et si elle est nulle? A-t-on encore limsup S_n=+inf et liminf S_n=-inf?
Merci d'avance!
L'argument est juste?
>Egoroff tu as donc répondu à ma question dans le cas ou la variance est non >nulle...et si elle est nulle? A-t-on encore limsup S_n=+inf et liminf S_n=-inf?
oui: as tu lu ce que je te proposais quelques posts plus hauts ?
par le meme argument que celui presente qq posts plus haut on montre que si $X_n$ est une suite iid non triviale (les variables ne sont pas des constantes), alors $\limsup$ et $\liminf$ de $S_n=X_1+\ldots+X_n$ ne peuvent pas etre finies. Donc on est soit dans le cas ou les deux limites valent $+\infty$ ou $-\intfy$, soit dans le cas ou $\limsup=+\infty$ et $\liminf=-\infty$. le cas que tu proposes est symetriques, donc cela ne peut etre que le cas $\limsup=\+infty$ et $\liminf=-\infty$
C'est peut étre évident pour toi,mais pour justifier l'existence du a tel que P(X>a)>0 dans ton premier post, je sens bien que c'est parce que l'espèrance est nulle mais je ne vois pas trop comment bien l'écrire...