Exercice sur les martingales
Bonjour à tous,
j'ai quelques questions sur les martingales, sur un exo en particulier. On se donne une martingale $M_t$ par rapport à la filtration $F_t$ positive et continue, et $a>0$. On suppose $M_0 = a$ et que $\lim M_t = 0$ en $+\infty$.
1-$M_t$ est-elle uniformément intégrable ?
On sait que si $M_t$ converge p.s. et dans $L^1$, $M$ est uniformément intégrable. La convergence p.s. est une hypothèse, qui s'écrit : $\forall \omega \in \Omega-N, \forall \epsilon >0, \exists t_0, \forall t > t_0, |M_t| < \epsilon$. Donc en prenant l'espérance dans la dernière inégalité, on a la convergence $L^1$ vers $0$. Est-ce bien correct ?
2- On pose pour y>a, $T_y = inf \{t \geq 0, M_t \geq y\}.$ $T_y$ vaut $\infty$ si $M_t<y$ pour tout $t$. Il faut calculer la limite de $M_{inf(t,T_y)}$
Là je dis que si $T_y = \infty$, la limite cherchée est $0$. Sinon, c'est $M_{T_y} = y$. Donc au final ça donne $y 1_{T_y < \infty}$.
En fait plus généralement, pour $\tau$ un temps d'arrêt, a-t-on toujours que $M_{inf(t,\tau)}$ tend vers $M_\tau$ ?
Merci de votre aide !
j'ai quelques questions sur les martingales, sur un exo en particulier. On se donne une martingale $M_t$ par rapport à la filtration $F_t$ positive et continue, et $a>0$. On suppose $M_0 = a$ et que $\lim M_t = 0$ en $+\infty$.
1-$M_t$ est-elle uniformément intégrable ?
On sait que si $M_t$ converge p.s. et dans $L^1$, $M$ est uniformément intégrable. La convergence p.s. est une hypothèse, qui s'écrit : $\forall \omega \in \Omega-N, \forall \epsilon >0, \exists t_0, \forall t > t_0, |M_t| < \epsilon$. Donc en prenant l'espérance dans la dernière inégalité, on a la convergence $L^1$ vers $0$. Est-ce bien correct ?
2- On pose pour y>a, $T_y = inf \{t \geq 0, M_t \geq y\}.$ $T_y$ vaut $\infty$ si $M_t<y$ pour tout $t$. Il faut calculer la limite de $M_{inf(t,T_y)}$
Là je dis que si $T_y = \infty$, la limite cherchée est $0$. Sinon, c'est $M_{T_y} = y$. Donc au final ça donne $y 1_{T_y < \infty}$.
En fait plus généralement, pour $\tau$ un temps d'arrêt, a-t-on toujours que $M_{inf(t,\tau)}$ tend vers $M_\tau$ ?
Merci de votre aide !
Réponses
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Dans le 2-, même si le résultat me semble ok, la 'méthode' employée ne vaut pas grand chose, mais je sais pas comment le rendre plus formel !
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1: par hypothese la convergence vers $0$ est ps. Si $M_t$ etait UI, alors la convergence serait aussi dans $L^1$, et la martingale serait fermee par $M_{\infty}=0$, et donc la martingale serait nulle.
2: oui, $M_{\min(t,T_y)}$ tend vers $y.1_{T_y<\infty}$. Mais es-tu sur que c'etait la question ? Ne t'interesses-tu pas a une quantite du genre $P[T_y < \infty]$ ? -
1 - D'accord, si je comprends bien, en supposant que $M_t$ est UI, elle est donc fermée, et par suite $E(M_\infty|F_0) = M_0$ donc contradiction car on a écrit $0 = a$. C'est bien cela ? Donc $M_t$ n'est pas UI, donc je m'étais planté, merci ! Mais j'ai du mal à voir mon erreur.
2 - Non c'était bien la question. En fait il y a d'autres questions :
3 - Montrer que $P(T_y < \infty) = a/y$ en appliquant le théorème d'arrêt. Mais $T_y$ n'est pas borné, donc c'est gênant, comme $M_t$ n'est pas UI...
4 - En déduire $sup M_t = a/U$, U uniforme [0,1]. Ca j'ai pas trouvé du tout.
Merci ! -
J'ai pas compris cette conséquence :"et donc la martingale serait nulle."
-
car $M_t=E[M_{\infty}|\mathcal F_t]=0$. Sinon:
3:
comme tu dis, c'est le theoreme d'arret appliquer a la martingale bornee (et donc UI) $X_t = M_{\min(t,T_y)}$ qui converge ps vers $y1_{T_y<\infty}$ et au temps d'arret $T_{y}$. On a bien $X_t$ qui est UI et $X_{T_y}=y1_{T_y < \infty}$, donc:
\[ a=E[X_0]=E(X_{\T_y})=E(y.1_{T_y<\infty})=y P(T_y < \infty) \]
4:
apres cela devient alors facile car pour $y \geq a$:
\[P(\sup M_t \geq y) = P(T_y < \infty) = \frac{a}{y} = P(U \leq \frac{a}{y}) = P(\frac{a}{U}\geq y) \]
et pour $y < a$:
\[P(\sup M_t \geq y) = 1 = P(\frac{a}{U}\geq y) \]
donc $\sup M_t$ et $\frac{a}{U}$ ont meme loi.
est-ce plus clair ? -
Bonjour,
j'ai bien compris la remarque "donc la martingale serait nulle", en fait ça revient à ce que j'avais fait avec $t = 0$.
Pour la question 4-, ok.
Pour la question 3-, j'ai encore quelques trucs... Tout d'abord, est ce que si une martingale est bornée, elle est uniformément intégrable ? Tu sembles le sous-entendre, mais je n'ai jamais vu ce théorème.
Et pour le fait que $X_t$ est bornée, on dit que si $t > T_y$ alors $X_t = M_{T_y} = y$ et sinon $X_t < y$. Donc $X_t$ est bornée par $y$, c'est cela ?
Dernière question : si $\tau$ est un temps d'arrêt, $A_t$ une martingale,a-t-on toujours que $A_\min(t,\tau)$ tend vers $A_\tau$ quand $t$ temps vers l'infini ?
En tout cas merci pour ton aide, vraiment ça m'est profiable (d'autant que j'avais déjà passé du temps dessus !). -
>Pour la question 3-, j'ai encore quelques trucs... Tout d'abord, est ce que si une >martingale est bornée, elle est uniformément intégrable ? Tu sembles le
>sous-entendre, mais je n'ai jamais vu ce théorème.
une famille $\{X_{i}\}_{i \in I}$ est UI ssi pour tout $\epsilon>0$ il existe $\eta_{\epsilon}$ telle que pour tout evenement $A$ verifiant $P(A)<\eta_{\epsilon}$ on a: $P(X_i 1_{A})<\epsilon$. Donc si la famille est bornee par $M$, il suffit de prendre $\eta_{\epsilon} = \frac{\epsilon}{M}$
>Et pour le fait que $ X_t$ est bornée, on dit que si $ t > T_y$ alors $ X_t = >M_{T_y} = y$ et sinon $ X_t < y$. Donc $ X_t$ est bornée par $ y$, c'est cela ?
oui
>Dernière question : si $ \tau$ est un temps d'arrêt, $ A_t$ une >martingale,a-t-on toujours que $ A_\min(t,\tau)$ tend vers $ A_\tau$ quand $ t$ >temps vers l'infini ?
si $\tau$ est fini presque partout, c'est presque evident. Et sinon, il faut definir $A_{\infty}$ sur l'ensemble $\{\tau = \infty\}$, ce qui est possible lorsque $A_{t}$ converge pour presque tout $\omega \in \{\tau = \infty\}$ -
Désolé de jouer les pinailleurs mais j'ai l'impression qu'il y a un "tout" petit bug dans ta carectérisation de l'UI ( en fait je crois que c'est une coquille).
Perso, je connais celle-là qui semble être assez proche de la tienne ( à une coquille près)
Une famille $F$ est UI ssi :
i/ elle est "equicontinue" dans le sens suivant :
Pour tout $\epsilon>0$ il existe $\delta>0$ tel que pour tout évènement $A$ tel que $P(A)<\delta$ alros $ sup_{X\in F} E[1_A.X] <\epsilon$
et
ii/ elle est uniformément bornée dans L^1.
En fait je crois qu'on parle de la même chose avec ton $P$ remplacé par une espérance $E$.
Après tu as tout bon, car bornée implique bornée dans L^1 et bornée implique le point i/ avec le $\delta$ que tu proposes.
a+ -
yep, merci TheBridge, je voulais bien sur ecrire $E$ a la place de $P$, qui n'a d'ailleurs pas beaucoup de sens ici.
-
Merci à vous, j'ai bien compris je pense.
-
Coucou à tous, je rappelle qu'une martingale bornée n'est pas UI... sauf si elle est positive...
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R U sure ? Pour moi 'importe quelle famille dominée dans $L^1$ est UI ; a fortiori une famille bornée...
[SMS en anglais ! ::o AD] -
Ben si tu appelle dominé cette famille : $\mathcal{H} = \{X,|X|< Z \in L^1\}$ ok mais sans la norme c'est pas bon. cf proba approfondies de Lacroix et priouret p46
Et surtout je me rappelle très bien avoir entendu Bertoin me dire : "Attention c'est UI parceque c'est POSITIF et borné"
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Bonjour!
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