Exercice sur les martingales

car $M_t=E[M_{\infty}|\mathcal F_t]=0$. Sinon:

3:
comme tu dis, c'est le theoreme d'arret appliquer a la martingale bornee (et donc UI) $X_t = M_{\min(t,T_y)}$ qui converge ps vers $y1_{T_y<\infty}$ et au temps d'arret $T_{y}$. On a bien $X_t$ qui est UI et $X_{T_y}=y1_{T_y < \infty}$, donc:
\[ a=E[X_0]=E(X_{\T_y})=E(y.1_{T_y<\infty})=y P(T_y < \infty) \]

4:
apres cela devient alors facile car pour $y \geq a$:
\[P(\sup M_t \geq y) = P(T_y < \infty) = \frac{a}{y} = P(U \leq \frac{a}{y}) = P(\frac{a}{U}\geq y) \]
et pour $y < a$:
\[P(\sup M_t \geq y) = 1 = P(\frac{a}{U}\geq y) \]
donc $\sup M_t$ et $\frac{a}{U}$ ont meme loi.


est-ce plus clair ?

>Pour la question 3-, j'ai encore quelques trucs... Tout d'abord, est ce que si une >martingale est bornée, elle est uniformément intégrable ? Tu sembles le
>sous-entendre, mais je n'ai jamais vu ce théorème.
une famille $\{X_{i}\}_{i \in I}$ est UI ssi pour tout $\epsilon>0$ il existe $\eta_{\epsilon}$ telle que pour tout evenement $A$ verifiant $P(A)<\eta_{\epsilon}$ on a: $P(X_i 1_{A})<\epsilon$. Donc si la famille est bornee par $M$, il suffit de prendre $\eta_{\epsilon} = \frac{\epsilon}{M}$

>Et pour le fait que $ X_t$ est bornée, on dit que si $ t > T_y$ alors $ X_t = >M_{T_y} = y$ et sinon $ X_t < y$. Donc $ X_t$ est bornée par $ y$, c'est cela ?
oui

>Dernière question : si $ \tau$ est un temps d'arrêt, $ A_t$ une >martingale,a-t-on toujours que $ A_\min(t,\tau)$ tend vers $ A_\tau$ quand $ t$ >temps vers l'infini ?
si $\tau$ est fini presque partout, c'est presque evident. Et sinon, il faut definir $A_{\infty}$ sur l'ensemble $\{\tau = \infty\}$, ce qui est possible lorsque $A_{t}$ converge pour presque tout $\omega \in \{\tau = \infty\}$

yep, merci TheBridge, je voulais bien sur ecrire $E$ a la place de $P$, qui n'a d'ailleurs pas beaucoup de sens ici.

Coucou à tous, je rappelle qu'une martingale bornée n'est pas UI... sauf si elle est positive...

Ben si tu appelle dominé cette famille : $\mathcal{H} = \{X,|X|< Z \in L^1\}$ ok mais sans la norme c'est pas bon. cf proba approfondies de Lacroix et priouret p46
Et surtout je me rappelle très bien avoir entendu Bertoin me dire : "Attention c'est UI parceque c'est POSITIF et borné"