Equation différentielle stochastique

Zantac · February 2009

Bonjour,

j'ai en fait plusieurs questions indépendantes, la première très simple.

1 - Si j'ai $dX_t = f(t,X_t)dt+g(t,X_t)dB_t$, puis-je dire que $X_t$ est un processus d'Itô ? (ce qui me gêne est qu'il y ait encore du $X_t$ dans les termes...).

2 - Voilà donc il y une EDS : $dS(t)=S_t(\mu(t)dt+\sigma(t)dB_t)$ et $S_0 = s_0$.
On peut prouver que sa solution est : $S_t = s_0 exp(\int_{0}^{t}{\mu(s)ds}+\int_{0}^{t}{\sigma(s)dB_s}-1/2\int_{0}^{t}{\sigma(s)^2ds})$.

On prend alors $r(t)$ déterministe, et continue sur $[0,T]$, on demande de montrer qu'il existe une proba $\Q$ telle que $T_t = exp(\int_{0}^{t}{r(s)ds})S_t$ est une martingale.

Je ne sais pas trop comment faire en fait, peut être différencier $T_t$ ,et voir des choses ; j'aimerais bien une petite aide

Merci !

Zantac · February 2009

Bon alors mon idée c'est de différencier, je trouve :

$dT_t = T_t[(r(t)+\mu(t))dt+\sigma(t)dB_t]$.

Ensuite, j'aimerais que dans ma nouvelle proba, le terme en $dt$ s'annule, de la sorte on aurait une martingale locale (pas de drift) bornée (car sur $[0,T]$ les deux membres sont bornés) donc ce serait une martingale. Mais je vois pas comment trouver la nouvelle proba.

TheBridge · February 2009

Si tu connais le théorème de Girsanov c'est presque immédiat.

TheBridge · February 2009

Pour le 1/ avant de te poser la question de savoir si c'est un processus d'Itô ( notion qui d'ailleurs a tendance à varier suivant les auteurs) pose-toi d'abord la question de savori si une solution existe et dans quel sens.
Après seulement tu pourras je pense répondre à ta question.

a+

statquant · February 2009

C'est vraiment nul cette notion de processus d'Ito, non seulement ça ne sert à rien mais visiblement ça embrouille.
Dis toi qu'un processus d'Ito vérifie une EDS $dX_t = machin dt + truc dW_t$ avec machin et truc comme tu veux...

egoroff · February 2009

Tiens je ne suis pas trop d'accord. Pour moi un truc qui vérifie une EDS, c'est une diffusion, et un processus d'Ito c'est plus général.

J'appelle processus d'Ito une semi-martingale continue qui s'écrit $X_t=X_0+\int_0^t K_s ds+\int_0^t H_s dB_s$ où $X_0$ est $\mathcal{F}_0$-mesurable et $K,H$ sont progressivement mesurables et tels que $\int_0^t (K_s+H_s^2)ds <\infty$ p.s. pour tout $t$. Une diffusion, c'est que $K_s$ et $H_s$ sont des fonctions déterministes de $s$ et $X_s$ seulement, du style $K_s=b(s,X_s)$ et $H_s=\sigma(s,X_s)$. Donc pour moi $dX_t=b(t,X_t)dt+\sigma(t,X_t)dB_t$ est une EDS, mais a priori $dX_t=K_tdt+H_tdB_t$ n'en est pas une, si $K_t$ et $H_t$ sont quelconque.

Bon après la terminologie...

TheBridge · February 2009

Le truc c'est que si tu regardes les différents auteurs ils ne sont même pas d'accord sur ce qu'est une diffusion alors un processus d'Itô ...( d'ailleurs c'est égalemetn vrai sur la définition d'objet aussi simple que des temps d'arrêts)

Perso je recommende lorsque l'on parle de diffusion ou de processus d'Itô de mettre la def à laquelle on pense en même temps, cela évite les confusions sémantiques.

Cela dit étant donné que les différentes définitions sont vraiment voisines dans 90% des cas on parle moralement de la même choses et seuls les cas pathologiques viennent semer le désordre.

Comme on peut le voir des cas peuvent se présenter comme pour ce fil.

egoroff · February 2009

D'accord avec toi.

Equation différentielle stochastique

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