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Probabilité entiers premiers entre eux

Envoyé par Le matheux 314 
Le matheux 314
Probabilité entiers premiers entre eux
il y a dix années
Salut

En fouillant sur le net, je suis tombé sur cet article qui m'a bien intéressé : Théorème de Césaro.

Cependant, je suis ensuite tombé sur cette page, qui a l'air de dire que le résultat ci-dessus est faux (le texte en vert à la fin); et surtout je suis tombé là-dessus. C'est beaucoup plus compliqué que le premier papier.

Comme je ne vois pas trop ce qui cloche dans le premier papier, je voudrais avoir votre avis éclairé là-dessus.

Merci d'avance!
Re: Probabilité entiers premiers entre eux
il y a dix années
le dernier texte te dit que la probabilite que $2$ entiers choisis uniformement aleatoiremement dans $[1;n]$ ont une probabilite $p_n$ d'etre premier entre eux, avec
\[ \lim_n p_n = \frac{6}{\pi^2} \]
C'est la version rigoureuse que tu demandes, car il n'existe pas de maniere totalement rigoureuse de choisir un nombre entier aleatoirement telle que chaque entier ait la meme probabilite d'etre choisi.
Le matheux 314
Re: Probabilité entiers premiers entre eux
il y a dix années
Mais dans le premier papier, on travaille sur l'ensemble $\{1,\ldots,n!\}$, non? Qui peut être muni d'une mesure de probas uniforme je crois.

Je ne vois pas en quoi le premier papier n'est pas rigoureux. J'ai bien compris que $\mathbb N$ ne pouvait être muni d'une mesure de probas uniforme, mais je ne pense pas que le premier papier en utiliserait une, car selon moi on travaille sur $\{1,\ldots,n!\}$ et on fait un passage à la limite, comme dans le troisième papier!
Re: Probabilité entiers premiers entre eux
il y a dix années
avatar
Bonjour Le matheux 314.

Tu as mal lu le passage en vert. Il ne dit pas que le théorème de Césaro est faux, il dit que sa démonstration (*) est fausse. Et conteste une interprétation classique qui est :
"la probabilité que deux entiers pris au hasard soient premiers entre eux est $\dfrac{6}{\pi^2}$".
Pour moi aussi, cette phrase n'a pas de sens.

Cordialement

(*) Celle de l'auteur du passage en vert.

[La case LaTeX. :) AD]
Le matheux 314
Re: Probabilité entiers premiers entre eux
il y a dix années
Ha d'accord je viens de piger, merci.
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